# 2. Методичні вказівки

Цей розділ **самодостатній**: у ньому зібрано теорію класичної ймовірності,
теореми Байєса та комбінаторики, потрібну для аудиторних задач
([3classroom.md](3classroom.md)) і домашнього завдання ([4task.md](4task.md)).
Ширше з поясненнями — у [Лекції 1](../../Lectures/DA-L01.md).

## 2.1 Класична ймовірність

Якщо всі $n$ елементарних наслідків **рівноможливі**, то ймовірність події $A$,
якій сприяють $m$ наслідків,

$$ P(A) = \frac{m}{n}. $$

**Протилежна подія:** $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — зручна для задач «хоча б один»
(рахуємо «жодного» й віднімаємо від одиниці). **Теорема додавання:**

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), $$

а для **несумісних** подій — $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

## 2.2 Умовна ймовірність, множення, Байєс

**Умовна ймовірність:** $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Звідси **теорема
множення** $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$ — основний інструмент для
**послідовних** подій (напр., вибір без повернення). Події **незалежні**, якщо
$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Для повної групи несумісних гіпотез $H_1, \dots, H_k$ — **формула повної
ймовірності** та **теорема Байєса**:

$$ P(A) = \sum_{i} P(H_i)\, P(A \mid H_i), \qquad
P(H_i \mid A) = \frac{P(H_i)\, P(A \mid H_i)}{P(A)}. $$

## 2.3 Комбінаторика

**Правило добутку:** послідовні незалежні вибори перемножують ($n_1 \cdot n_2$).
**Правило суми:** взаємовиключні варіанти додають ($n_1 + n_2$).

| Схема | Що рахує | Порядок | Формула |
|---|---|:--:|---|
| Перестановки $P_n$ | усі $n$ елементів у ряд | важливий | $n!$ |
| Розміщення $A_n^k$ | вибір $k$ із $n$ без повернення | важливий | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ |
| Сполучення $C_n^k$ | вибір $k$ із $n$ без повернення | неважливий | $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| З повтореннями (упоряд.) | вибір $k$ із $n$ з поверненням | важливий | $n^k$ |

Корисно: $C_n^k = C_n^{n-k}$; $C_n^0 = C_n^n = 1$; кількість **розміщень із
повтореннями** $= n^k$ (кожну з $k$ позицій заповнюють одним із $n$ значень
незалежно).

## 2.4 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах)

**(а) Ймовірність без повернення.** З колоди $52$ карт витягають дві. Імовірність,
що **обидві королі**:

$$ P = \frac{C_4^2}{C_{52}^2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}, \quad\text{або через множення}\quad \frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51} = \frac{1}{221}. $$

**(б) Комбінаторні схеми на одних даних.** Нехай є $8$ бігунів.

- Розподіл місць на п'єдесталі (1-ше, 2-ге, 3-тє) — порядок важливий:
  $A_8^3 = \dfrac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.
- Обрати трійку для естафети (без розподілу етапів) — порядок неважливий:
  $C_8^3 = \dfrac{8!}{3!\,5!} = 56$.

Різниця $336$ проти $56$ — саме множник $3! = 6$ (кількість упорядкувань трійки):
$A_8^3 = C_8^3 \cdot 3!$.

![Ілюстрація зв'язку розміщень і сполучень: одна трійка дає 3! упорядкувань](img/lab1_arr_vs_comb.png)

**(в) Вибір із повтореннями.** Тризначний PIN-код із цифр $0$–$9$:
$10^3 = 1000$ варіантів (цифри можуть повторюватися, порядок важливий).

## 2.5 Робочий контрольний список

- Для класичної ймовірності — чітко опишіть простір наслідків і **переконайтесь у
  рівноможливості**.
- «Хоча б один» — рахуйте через **протилежну** подію.
- Послідовні події (без повернення) — **теорема множення** з умовними
  ймовірностями.
- Комбінаторика: спершу спитайте себе **«чи важливий порядок?»** — це відрізняє
  розміщення від сполучень; далі — **«чи можливі повторення?»**.