# 4. Домашнє завдання за варіантами

> **Джерело завдання.** Умови взято **з методичних матеріалів курсу** (архів
> практичних завдань). Це індивідуальне завдання **за варіантом**; готових
> відповідей тут **немає**. Техніку показано на інших даних у
> [2method.md](2method.md) та [3classroom.md](3classroom.md).

Робота містить **три завдання**. У кожному виконують **свій варіант**.

> **Як визначити варіант.** Номер варіанта $=\ N \bmod 10 + 1$, де $N$ — номер
> студента за журналом (для кожного із трьох завдань — той самий номер варіанта).
> **Приклад:** для $N = 23$ варіант $=\ 23 \bmod 10 + 1 = 3 + 1 = 4$. У роботі це
> обчислення показують явно.

---

## Завдання 1

| Варіант | Умова |
|:--:|---|
| 1 | Скільки способами можна пофарбувати п'ять ялинок у сріблястий, зелений і синій кольори, якщо кількість фарби необмежена, а кожну ялинку фарбують лише в один колір? |
| 2 | Є п'ять кульок: червона, зелена, жовта, синя і золота. Скількома способами прикрасити ними п'ять ялинок, якщо на кожну надівають рівно одну кульку? |
| 3 | Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей орлів та решок можна отримати? |
| 4 | Кожну клітинку квадратної таблиці $2\times2$ фарбують у чорний або білий колір. Скільки існує різних розфарбувань таблиці? |
| 5 | Скількома способами заповнити картку лотереї, де треба передбачити підсумок тринадцяти матчів (підсумок кожного — перемога однієї з команд або нічия; рахунок ролі не грає)? |
| 6 | У команді ($11$ осіб) обирають капітана та його заступника. Скількома способами? |
| 7 | Скільки різних двоколірних прапорів із двома горизонтальними смугами однакової ширини (різних кольорів) можна зробити, маючи матерію шести кольорів? |
| 8 | Ладдя стоїть на лівому полі смужки $1\times30$ і за хід зсувається на будь-яку кількість клітин вправо. Скількома способами вона дістанеться крайнього правого поля? |
| 9 | Номер авто складається з чотирьох букв (алфавіт із $12$ букв) і чотирьох цифр. Скільки існує різних номерів? |
| 10 | Скількома способами можна по черзі дістати $5$ різнокольорових куль з урни? |

## Завдання 2

| Варіант | Умова |
|:--:|---|
| 1 | Скільки існує трицифрових чисел, у записі яких цифри $1, 2, 3$ трапляються рівно по одному разу? |
| 2 | У поїзді $17$ вагонів. Скількома способами розподілити по вагонах $17$ провідників (по одному на вагон)? |
| 3 | Скількома способами розсадити $5$ юнаків і $5$ дівчат за круглий стіл із $10$ крісел так, щоб вони чергувалися? |
| 4 | Скількома способами побудувати замкнуту ламану, вершинами якої є вершини правильного шестикутника (ламана може самоперетинатися)? |
| 5 | Сімнадцять дівчат водять хоровод. Скількома різними способами вони можуть стати в коло? |
| 6 | Скількома способами $28$ учнів можуть вишикуватися в чергу? |
| 7 | Скільки існує різних намист, складених із $17$ різних намистин? |
| 8 | Числа $1, 2, \dots, n$ записують у рядок так, що якщо число $i$ стоїть не на першому місці, то ліворуч від нього є хоча б одне з чисел $i+1$ чи $i-1$. Скількома способами це можна зробити? |
| 9 | Скількома способами може вишикуватися шеренга з $30$ людей? |
| 10 | На складі $9$ коробок. Скількома способами побудувати з них лінію? |

## Завдання 3

| Варіант | Умова |
|:--:|---|
| 1 | Скількома способами розбити $15$ осіб на три команди по $5$ осіб? |
| 2 | У відділенні продаються листівки $10$ видів. Скількома способами купити $12$ листівок? |
| 3 | Скількома способами $4$ чорні, $4$ білі та $4$ сині кулі розкласти у $6$ різних ящиків? |
| 4 | У преферансі трьом гравцям роздають по $10$ карток, а дві кладуть у прикуп (усього $32$ картки). Скільки різних розкладів? |
| 5 | Скількома способами вибрати $4$ фарби з $7$ різних? |
| 6 | Рота — $3$ офіцери, $6$ сержантів, $60$ рядових. Скількома способами виділити загін із $1$ офіцера, $2$ сержантів і $20$ рядових? |
| 7 | Клуб налічує $30$ членів; треба виділити $4$ осіб для забігу. Скількома способами? |
| 8 | З класу ($28$ осіб) призначають $4$ на чергування. Скількома способами? |
| 9 | З класу ($30$ осіб) обирають $2$ школярів на олімпіаду. Скількома способами? |
| 10 | Людина має $6$ друзів і $5$ днів поспіль запрошує трьох із них так, щоб компанія не повторювалася. Скількома способами? |

---

## Рівні складності

Оцінка відповідає найвищому **повністю й правильно** виконаному рівню.

### Базовий рівень — 60–74 балів

Розв'язати **свій варіант Завдання 1**: визначити комбінаторну схему (перестановки
/ розміщення / сполучення / вибір із повтореннями), записати формулу, обчислити
відповідь і **обґрунтувати** вибір схеми.

### Середній рівень — 75–89 балів

Додатково — розв'язати **свій варіант Завдання 2** з повним обґрунтуванням
(зокрема циклічні перестановки, якщо вони трапляються у варіанті).

### Високий рівень — 90–100 балів

Додатково — розв'язати **свій варіант Завдання 3**; **або** написати невелику
**програму** (мова на вибір), що обчислює $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$ та $n^k$ і за її
допомогою **перевірити** відповіді своїх варіантів усіх трьох завдань.

## Формат здачі

- На початку — **прізвище, група, номер $N$** та обчислення номера варіанта
  ($N \bmod 10 + 1$).
- Для кожного завдання: **яку схему** обрано і **чому** (порядок / повтори),
  формула, підстановка, відповідь.
- Перелік запитань до захисту — у [6questions.md](6questions.md); зміст звіту — у
  [5report.md](5report.md).