# 6. Контрольні запитання

Ці запитання допомагають перевірити готовність до роботи й самоконтроль після
неї. Відповіді спираються на [методичні вказівки](2method.md) та
[Лекцію 13](../../Lectures/DA-L13.md).

## Розмірність і постановка задачі

1. Що таке **прокляття розмірності**? Наведіть принаймні два його прояви й
   поясніть, чому воно псує методи на основі відстаней (kNN, $k$-середніх).
2. Чим **відбір ознак** (feature selection) відрізняється від **виділення ознак**
   (feature extraction)? До якого з них належить PCA?
3. Навіщо зменшують розмірність? Перелічіть щонайменше три мотиви (візуалізація,
   шум, швидкість, перенавчання).

## Коваріаційна матриця

4. Дайте означення **коваріації** двох ознак і **коваріаційної матриці** набору.
   Якого вона розміру для $p$ ознак і що стоїть на її головній діагоналі?
5. Чому коваріаційна матриця **симетрична**? Що таке її **слід** і як він
   пов'язаний із загальною дисперсією даних?
6. Навіщо перед обчисленням коваріаційної матриці **центрувати** дані? Коли
   потрібна ще й **стандартизація** і до якої матриці тоді зводиться PCA?

## Власні значення, вектори, головні компоненти

7. Що таке **власний вектор** і **власне значення** матриці? Запишіть рівняння
   $\Sigma v = \lambda v$ і поясніть його геометричний зміст.
8. Що таке **головні компоненти**? Чому перша з них — напрямок **максимальної
   дисперсії**, і чому дисперсія даних уздовж $i$-ї компоненти дорівнює
   $\lambda_i$?
9. Чому головні компоненти **ортогональні**? Як через **характеристичне рівняння**
   $\det(\Sigma - \lambda I) = 0$ знайти власні значення матриці $2 \times 2$?

## Проєкція, частка дисперсії, вибір числа компонент

10. Як обчислити **проєкцію** об'єкта на головну компоненту? Що таке **частка
    поясненої дисперсії** і як її рахують?
11. Як обрати число компонент $k$? Поясніть **поріг накопиченої дисперсії**,
    **scree-графік** («лікоть») і **правило Кайзера**.
12. Назвіть **обмеження** PCA (лінійність, інтерпретованість, незалежність від
    міток класів, чутливість до масштабу). Наведіть приклад, коли перша головна
    компонента **марна** для класифікації.

## Реалізація

13. Опишіть кроки **алгоритму PCA** від сирої матриці даних до проєкції на $k$
    компонент. Який крок обов'язковий, а який — за потреби?
14. Які **крайні випадки** має опрацьовувати програма (порожній файл, нечислові
    значення, пропуски, один стовпець)? Як перевірити правильність результату
    (напр., що дисперсія проєкцій на $i$-ту компоненту дорівнює $\lambda_i$)?