# Лабораторна робота 13. Зменшення розмірності. Метод головних компонент (PCA)

> Тринадцята лабораторна робота курсу **«Аналітика даних»** — перша в модулі
> **розширених методів аналітики** (зменшення розмірності). Спершу **в аудиторії**
> ви обчислюєте «руками» на малому 2D-наборі: **коваріаційну матрицю**, її
> **власні значення й вектори** (через характеристичне рівняння), а тоді
> **проєктуєте** точки на першу головну компоненту й рахуєте **частку поясненої
> дисперсії**. Потім **удома** реалізуєте метод головних компонент (PCA)
> **програмою**, що читає CSV з числовими ознаками, зводить дані до двох компонент
> і показує частку поясненої дисперсії. Робота закріплює
> [Лекцію 13](../../Lectures/DA-L13.md).

## Коротко про роботу

| | |
|---|---|
| **Тема** | Зменшення розмірності; коваріаційна матриця; власні значення/вектори; головні компоненти; частка поясненої дисперсії |
| **Передумова** | [Лекція 13. Зменшення розмірності. Метод головних компонент (PCA)](../../Lectures/DA-L13.md) |
| **Аудиторна частина** | Коваріаційна матриця, власні значення/вектори «руками», проєкція на 1-шу компоненту, частка дисперсії (з розв'язаннями) |
| **Домашня частина** | Програма: читає CSV, виконує PCA, зводить дані до 2 компонент, візуалізує й виводить частку поясненої дисперсії |
| **Оцінювання** | три рівні: базовий **60–74** / середній **75–89** / високий **90–100** |

## Зміст

| № | Частина | Файл |
|:--:|---|---|
| 1 | Мета роботи | [1purpose.md](1purpose.md) |
| 2 | Методичні вказівки (теорія + демонстраційний приклад) | [2method.md](2method.md) |
| 3 | Аудиторні задачі з розв'язаннями | [3classroom.md](3classroom.md) |
| 4 | Домашнє завдання (програма) | [4task.md](4task.md) |
| 5 | Зміст звіту | [5report.md](5report.md) |
| 6 | Контрольні запитання | [6questions.md](6questions.md) |

## Домовленості

- **Дві частини.** Аудиторні задачі ([3classroom.md](3classroom.md)) розбирають
  спільно «руками» — з них ви розумієте, *що саме* обчислює програма. Домашнє
  завдання ([4task.md](4task.md)) — самостійна реалізація PCA у коді.
- **Дільник коваріації.** Коваріаційну матрицю обчислюють із дільником $n - 1$
  (вибіркова коваріація). Дільник $n$ дає ті самі власні вектори й частки
  дисперсії — змінюються лише значення власних чисел; головне — зазначити, який
  дільник використано.
- **Центрування обов'язкове.** Перед обчисленням коваріаційної матриці від кожної
  ознаки віднімають її середнє; **стандартизацію** (поділ на СКВ) застосовують,
  коли ознаки в різних масштабах.
- **Знак власного вектора умовний.** Власний вектор $v$ і $-v$ задають ту саму
  головну компоненту (вісь). Тому проєкції можуть відрізнятися знаком — це не
  помилка; важливі **напрямок** осі та **дисперсія** вздовж неї.
- **Мова програмування — на вибір.** Стандартні бібліотеки для читання CSV та
  лінійної алгебри дозволені; зокрема, для обчислення власних значень/векторів
  можна брати `numpy.linalg.eig`/`numpy.linalg.eigh`. Готові реалізації PCA
  (`sklearn.decomposition.PCA`) можна брати **лише для перевірки** власного коду.

## Підсумок

Метод головних компонент — базовий метод **зменшення розмірності**: він знаходить
нові ортогональні осі (головні компоненти) уздовж напрямків **максимальної
дисперсії** даних і дає змогу замінити багато корельованих ознак кількома новими,
зберігши більшу частину інформації. У цій роботі ви навчитеся виконувати його
кроки «руками» — рахувати коваріаційну матрицю, розв'язувати характеристичне
рівняння, проєктувати точки й оцінювати частку поясненої дисперсії — та
**автоматизуєте** метод програмою, що зводить дані з CSV до двох компонент і
візуалізує їх. Зменшення розмірності — стандартний крок розвідувального аналізу й
попередньої обробки перед класифікацією та кластеризацією
([Лекція 9](../../Lectures/DA-L09.md)).