# 3. Аудиторні задачі з розв'язаннями

Ці задачі розбирають **в аудиторії «руками»**. Вони показують ті самі обчислення,
які потім автоматизує домашня програма ([4task.md](4task.md)). Теорія й формули —
у [методичних вказівках](2method.md). Дані задач **відрізняються** від
демонстраційного прикладу у [2method.md](2method.md).

## Задача 1. Просте ковзне середнє

**Дано** часовий ряд щоденної кількості відвідувачів сайту ($n = 8$):

$$ 15,\ 18,\ 21,\ 19,\ 23,\ 25,\ 24,\ 28. $$

**Знайти** просте ковзне середнє з вікном $w = 3$.

**Розв'язання.** Перші два значення не визначені (вікно ще не заповнене); від
$t = 3$ усереднюємо три останні спостереження:

| $t$ | $x_t$ | $\mathrm{MA}_t^{(3)}$ |
|:--:|:--:|:--:|
| 1 | 15 | — |
| 2 | 18 | — |
| 3 | 21 | $(15+18+21)/3 = 54/3 = 18.000$ |
| 4 | 19 | $(18+21+19)/3 = 58/3 = 19.333$ |
| 5 | 23 | $(21+19+23)/3 = 63/3 = 21.000$ |
| 6 | 25 | $(19+23+25)/3 = 67/3 = 22.333$ |
| 7 | 24 | $(23+25+24)/3 = 72/3 = 24.000$ |
| 8 | 28 | $(25+24+28)/3 = 77/3 = 25.667$ |

**Відповідь:** $\mathrm{MA}^{(3)} = 18.000,\ 19.333,\ 21.000,\ 22.333,\ 24.000,\ 25.667$
(для $t = 3, \dots, 8$). Згладжений ряд монотонно зростає — виявлено висхідний
тренд, тимчасом як сирий ряд коливається.

![Ряд щоденної кількості відвідувачів сайту і його ковзне середнє з вікном 3](img/lab14_moving_average.png)

## Задача 2. Просте експоненційне згладжування

**Дано** ряд $50,\ 52,\ 48,\ 53,\ 55$ і сталу згладжування $\alpha = 0.5$.

**Знайти** згладжений ряд $\hat{x}_t$ (старт $\hat{x}_1 = x_1$) і прогноз на
наступний період.

**Розв'язання.** Старт $\hat{x}_1 = x_1 = 50$; далі за формулою
$\hat{x}_t = 0.5\,x_t + 0.5\,\hat{x}_{t-1}$ **послідовно**:

$$ \hat{x}_2 = 0.5 \cdot 52 + 0.5 \cdot 50 = 26 + 25 = 51.000, $$
$$ \hat{x}_3 = 0.5 \cdot 48 + 0.5 \cdot 51 = 24 + 25.5 = 49.500, $$
$$ \hat{x}_4 = 0.5 \cdot 53 + 0.5 \cdot 49.5 = 26.5 + 24.75 = 51.250, $$
$$ \hat{x}_5 = 0.5 \cdot 55 + 0.5 \cdot 51.25 = 27.5 + 25.625 = 53.125. $$

Прогноз на наступний ($6$-й) період — остання згладжена оцінка:
$\hat{x}_6 = \hat{x}_5 = 53.125$.

**Відповідь:** $\hat{x} = 50.000,\ 51.000,\ 49.500,\ 51.250,\ 53.125$; прогноз
$\hat{x}_6 = 53.125$. Згладжений ряд плавно рухається за даними, не повторюючи
їхніх різких стрибків (напр., падіння до $48$ на кроці $3$ пом'якшене до $49.5$).

![Ряд і його експоненційне згладження з alpha 0.5, а також прогноз наступного значення 53.125](img/lab14_exp_smoothing.png)

## Задача 3. Оцінка похибки прогнозу (MAE, RMSE, MAPE)

**Дано** фактичні значення ряду та прогноз на $m = 5$ періодах:

| Період | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Факт $x_t$ | 100 | 110 | 105 | 120 | 115 |
| Прогноз $\hat{x}_t$ | 102 | 108 | 110 | 115 | 118 |

**Знайти** MAE, RMSE та MAPE.

**Розв'язання.** Складемо розрахункову таблицю: похибки $x_t - \hat{x}_t$, їхні
модулі, квадрати та відносні модулі $|x_t - \hat{x}_t| / x_t$:

| $x_t$ | $\hat{x}_t$ | $x_t - \hat{x}_t$ | $|x_t - \hat{x}_t|$ | $(x_t - \hat{x}_t)^2$ | $|{\cdot}| / x_t$ |
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| 100 | 102 | $-2$ | 2 | 4 | $2/100 = 0.02000$ |
| 110 | 108 | $+2$ | 2 | 4 | $2/110 = 0.01818$ |
| 105 | 110 | $-5$ | 5 | 25 | $5/105 = 0.04762$ |
| 120 | 115 | $+5$ | 5 | 25 | $5/120 = 0.04167$ |
| 115 | 118 | $-3$ | 3 | 9 | $3/115 = 0.02609$ |
| | | | **17** | **67** | **0.15355** |

Звідси:

$$ \mathrm{MAE} = \frac{1}{5}\sum |x_t - \hat{x}_t| = \frac{17}{5} = 3.400, $$
$$ \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{5}\sum (x_t - \hat{x}_t)^2} = \sqrt{\frac{67}{5}} = \sqrt{13.4} \approx 3.661, $$
$$ \mathrm{MAPE} = \frac{100\%}{5}\sum \left| \frac{x_t - \hat{x}_t}{x_t} \right|
= \frac{100\%}{5} \cdot 0.15355 \approx 3.07\%. $$

**Відповідь:** $\mathrm{MAE} = 3.400$, $\mathrm{RMSE} \approx 3.661$,
$\mathrm{MAPE} \approx 3.07\%$. RMSE ($3.661$) більша за MAE ($3.400$): через
квадрат вона сильніше «відчула» два більші промахи по $5$. У середньому прогноз
хибить на $\approx 3.4$ відвідувача, або на $\approx 3.1\%$.

![Факт проти прогнозу на пʼяти періодах із позначеними похибками та підсумковими метриками MAE, RMSE і MAPE](img/lab14_errors.png)

> **Зв'язок із домашнім завданням.** Саме ці кроки — прочитати ряд, згладити
> ковзним середнім і експоненційним згладжуванням, спрогнозувати наступні значення
> та оцінити похибку метриками MAE / RMSE / MAPE — виконуватиме ваша програма для
> довільного файлу CSV ([4task.md](4task.md)). Задачі 1 і 2 — зручні **тести**:
> подайте їхні ряди на вхід і переконайтесь, що програма повертає
> $\mathrm{MA}^{(3)} = 18,\ 19.333,\ 21,\ 22.333,\ 24,\ 25.667$ (Задача 1) та
> $\hat{x} = 50,\ 51,\ 49.5,\ 51.25,\ 53.125$ за $\alpha = 0.5$ (Задача 2).