# 3. Аудиторні задачі з розв'язаннями

Ці задачі розбирають **в аудиторії «руками»**. Вони показують ті самі обчислення,
які потім автоматизує домашня програма ([4task.md](4task.md)). Теорія й формули —
у [методичних вказівках](2method.md).

## Задача 1. Характеристики за рядом розподілу

**Дано** ряд розподілу випадкової величини $X$:

| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| $P$ | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.1 |

**Знайти** $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$.

**Розв'язання.** Спершу перевіримо нормування:
$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.3 + 0.1 = 1$ — гаразд.

Математичне сподівання:

$$ M(X) = 1(0.2) + 2(0.1) + 3(0.3) + 4(0.3) + 5(0.1) = 0.2 + 0.2 + 0.9 + 1.2 + 0.5 = 3.0. $$

Другий початковий момент:

$$ M(X^2) = 1(0.2) + 4(0.1) + 9(0.3) + 16(0.3) + 25(0.1) = 0.2 + 0.4 + 2.7 + 4.8 + 2.5 = 10.6. $$

Дисперсія та СКВ:

$$ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 10.6 - 3.0^2 = 10.6 - 9 = 1.6, \qquad \sigma = \sqrt{1.6} \approx 1.265. $$

**Відповідь:** $M(X) = 3.0$, $D(X) = 1.6$, $\sigma \approx 1.265$.

## Задача 2. Характеристики за вибіркою (частотний ряд)

**Дано** вибірку дискретних значень (результати експерименту), у якій значення
повторюються:

$$ 4,\ 3,\ 2,\ 5,\ 4,\ 3,\ 4,\ 5,\ 2,\ 4,\ 3,\ 5,\ 4,\ 3,\ 4,\ 2,\ 5,\ 3,\ 4,\ 5. $$

**Знайти** вибіркове середнє, зміщену та незміщену вибіркові дисперсії й
відповідні СКВ.

**Розв'язання.** Згорнемо вибірку в **частотний ряд** ($n = 20$):

| $x_j$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|:--:|:--:|:--:|:--:|
| $f_j$ | 3 | 5 | 7 | 5 |

Перевірка: $3 + 5 + 7 + 5 = 20 = n$.

![Частотний ряд вибірки із Задачі 2: стовпці частот 3, 5, 7, 5 для значень 2, 3, 4, 5 з позначеним вибірковим середнім x̄=3.7](img/lab2_freq_bar.png)

Вибіркове середнє:

$$ \bar{x} = \frac{2\cdot 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 7 + 5\cdot 5}{20} = \frac{6 + 15 + 28 + 25}{20} = \frac{74}{20} = 3.7. $$

Через $\overline{x^2}$:

$$ \overline{x^2} = \frac{4\cdot 3 + 9\cdot 5 + 16\cdot 7 + 25\cdot 5}{20} = \frac{12 + 45 + 112 + 125}{20} = \frac{294}{20} = 14.7, $$
$$ s_n^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 14.7 - 3.7^2 = 14.7 - 13.69 = 1.01. $$

Отже, зміщена оцінка $s_n^2 = 1.01$, $\ \sigma_n = \sqrt{1.01} \approx 1.005$.

Незміщена оцінка (поправка Бесселя): сума квадратів відхилень
$\sum f_j (x_j - \bar{x})^2 = n\, s_n^2 = 20 \cdot 1.01 = 20.2$, тож

$$ s^2 = \frac{20.2}{n-1} = \frac{20.2}{19} \approx 1.063, \qquad \sigma = \sqrt{1.063} \approx 1.031. $$

**Відповідь:** $\bar{x} = 3.7$; зміщена $s_n^2 = 1.01$ ($\sigma_n \approx 1.005$);
незміщена $s^2 \approx 1.063$ ($\sigma \approx 1.031$).

## Задача 3. Невелика вибірка без повторів

**Дано** вибірку $10,\ 12,\ 9,\ 11,\ 8$ ($n = 5$). **Знайти** $\bar{x}$, $s_n^2$,
$s^2$ та СКВ.

**Розв'язання.**

$$ \bar{x} = \frac{10 + 12 + 9 + 11 + 8}{5} = \frac{50}{5} = 10. $$

Відхилення від середнього: $0,\ 2,\ -1,\ 1,\ -2$; їх квадрати: $0,\ 4,\ 1,\ 1,\ 4$;
сума $= 10$. Тоді

$$ s_n^2 = \frac{10}{5} = 2 \ \ (\sigma_n \approx 1.414), \qquad s^2 = \frac{10}{5-1} = 2.5 \ \ (\sigma \approx 1.581). $$

**Відповідь:** $\bar{x} = 10$; $s_n^2 = 2$ ($\sigma_n \approx 1.414$);
$s^2 = 2.5$ ($\sigma \approx 1.581$).

> **Зв'язок із домашнім завданням.** Саме ці кроки — прочитати значення, звести
> у частотний ряд, накопичити $\sum x$ та $\sum x^2$, обчислити середнє й
> дисперсію — виконуватиме ваша програма для довільного файлу CSV
> ([4task.md](4task.md)). Задача 3 — зручний **тест**: подайте ці п'ять чисел на
> вхід і переконайтесь, що програма повертає $\bar{x}=10$, $s_n^2=2$.