# 3. Аудиторні задачі з розв'язаннями

Ці задачі розбирають **в аудиторії «руками»**. Задача 1 — описова статистика;
Задачі 2 і 3 будують довірчі інтервали, які потім автоматизує домашня програма
([4task.md](4task.md)). Теорія й формули — у [методичних вказівках](2method.md).
Критичні значення наведено з `scipy.stats` (`t.ppf`, `chi2.ppf`).

## Задача 1. Описова статистика невеликої вибірки

**Дано** результати вимірювання (наприклад, бали за практичну роботу), $n = 9$:

$$ 10,\ 4,\ 9,\ 8,\ 10,\ 7,\ 3,\ 11,\ 10. $$

**Знайти** середнє, медіану, моду, квартилі $Q_1, Q_3$ та $\mathrm{IQR}$; перевірити
наявність викидів.

**Розв'язання.** Побудуємо **варіаційний ряд** (упорядкуємо за неспаданням):

$$ 3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11. $$

**Середнє.** Сума $\sum x_i = 3+4+7+8+9+10+10+10+11 = 72$, тож

$$ \bar{x} = \frac{72}{9} = 8. $$

**Медіана.** Оскільки $n = 9$ непарне, $\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} = x_{(5)} = 9$
(п'ятий член ряду).

**Мода.** Найчастіше значення — $10$ (трапляється тричі), решта — по одному разу:
$\mathrm{Mo} = 10$.

**Квартилі** (метод лінійної інтерполяції, нумерація з нуля):

$$ h_{25} = (9-1)\cdot 0.25 = 2 \ \Rightarrow\ Q_1 = x_{(2)} = 7, \qquad h_{75} = (9-1)\cdot 0.75 = 6 \ \Rightarrow\ Q_3 = x_{(6)} = 10, $$

(де $x_{(2)}, x_{(6)}$ — члени ряду на позиціях $2$ і $6$ у нумерації з нуля). Тоді

$$ \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 = 10 - 7 = 3. $$

**Викиди.** Межі за правилом $1.5\,\mathrm{IQR}$:

$$ [\,Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR},\ Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}\,] = [\,7 - 4.5,\ 10 + 4.5\,] = [\,2.5;\ 14.5\,]. $$

Усі значення від $3$ до $11$ лежать усередині — **викидів немає**.

**Відповідь:** $\bar{x} = 8$, $\mathrm{Me} = 9$, $\mathrm{Mo} = 10$, $Q_1 = 7$,
$Q_3 = 10$, $\mathrm{IQR} = 3$; викидів немає. Оскільки $\bar{x} = 8 < \mathrm{Me} = 9$,
розподіл злегка скошений вліво.

![Ящик з вусами для даних Задачі 1: квартилі Q1=7, Q2=9, Q3=10, ширина IQR=3; усі значення в межах 1.5·IQR, тож викидів немає](img/lab3_boxplot.png)

## Задача 2. ДІ для математичного сподівання (невідома $\sigma$)

**Дано** вибірку результатів експерименту ($n = 10$):

$$ 8,\ 10,\ 12,\ 9,\ 11,\ 10,\ 13,\ 7,\ 12,\ 8. $$

**Знайти** $95\%$ довірчий інтервал для математичного сподівання $\mu$ (рівень
значущості $\alpha = 0.05$; $\sigma$ **невідома**).

**Розв'язання.** Обчислимо вибіркові середнє та дисперсію. Сума
$\sum x_i = 100$, тож

$$ \bar{x} = \frac{100}{10} = 10. $$

Відхилення від $\bar{x} = 10$: $-2, 0, 2, -1, 1, 0, 3, -3, 2, -2$; їх квадрати:
$4, 0, 4, 1, 1, 0, 9, 9, 4, 4$; сума $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 36$. Незміщена
дисперсія та СКВ:

$$ s^2 = \frac{36}{n-1} = \frac{36}{9} = 4, \qquad s = \sqrt{4} = 2. $$

Ступенів свободи $n - 1 = 9$; критичне значення розподілу Стьюдента
$t_{0.025,\,9} = 2.2622$. Похибка оцінки:

$$ E = t_{0.025,\,9}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2.2622\cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = 2.2622\cdot 0.6325 \approx 1.431. $$

Отже, довірчий інтервал:

$$ \bar{x} \pm E = 10 \pm 1.431 \ \Rightarrow\ (8.569;\ 11.431). $$

**Відповідь:** з надійністю $95\%$ математичне сподівання
$\mu \in (8.57;\ 11.43)$.

![Довірчий інтервал для середнього Задачі 2 на числовій осі: вибіркове середнє 10 та симетричні межі 8.57 і 11.43](img/lab3_ci_mean.png)

## Задача 3. ДІ для дисперсії (розподіл $\chi^2$)

**Дано** ту саму вибірку, що в Задачі 2 ($n = 10$, $s^2 = 4$).

**Знайти** $95\%$ довірчий інтервал для дисперсії $\sigma^2$ та для СКВ $\sigma$
($\alpha = 0.05$).

**Розв'язання.** Ступенів свободи $n - 1 = 9$. Критичні значення розподілу $\chi^2$:

$$ \chi^2_{0.025,\,9} = 19.0228 \ (\text{більше}), \qquad \chi^2_{0.975,\,9} = 2.7004 \ (\text{менше}). $$

Чисельник $(n-1)s^2 = 9\cdot 4 = 36$. За формулою (більше критичне значення — у
знаменнику **нижньої** межі):

$$ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025,\,9}},\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975,\,9}} \right) = \left( \frac{36}{19.0228},\ \frac{36}{2.7004} \right) = (1.892;\ 13.331). $$

Для СКВ добуваємо корінь із меж:

$$ \left( \sqrt{1.892},\ \sqrt{13.331} \right) = (1.376;\ 3.651). $$

**Відповідь:** з надійністю $95\%$ дисперсія $\sigma^2 \in (1.89;\ 13.33)$, а
$\sigma \in (1.38;\ 3.65)$. Інтервал несиметричний відносно $s^2 = 4$ — на
малій вибірці ($n = 10$) оцінка дисперсії дуже неточна (верхня межа більш ніж
уп'ятеро перевищує нижню).

![Несиметричний довірчий інтервал для дисперсії Задачі 3 на числовій осі: точкова оцінка 4 та межі 1.89 і 13.33, права частина значно довша за ліву](img/lab3_ci_var.png)

> **Зв'язок із домашнім завданням.** Саме ці кроки — прочитати значення, обчислити
> $\bar{x}$ і $s^2$, знайти критичні значення $t$ та $\chi^2$ за заданим $\alpha$ і
> підставити у формули — виконуватиме ваша програма для довільного файлу CSV
> ([4task.md](4task.md)). Вибірка Задач 2–3 — зручний **тест**: подайте ці десять
> чисел і рівень $\alpha = 0.05$ й переконайтесь, що програма повертає ДІ для
> середнього $(8.57;\ 11.43)$ та для дисперсії $(1.89;\ 13.33)$.