# 2. Методичні вказівки

Цей розділ **самодостатній**: у ньому зібрано теорію перевірки статистичних гіпотез,
потрібну для аудиторних задач ([3classroom.md](3classroom.md)) і домашньої програми
([4task.md](4task.md)). Ширше ту саму теорію викладено в
[Лекції 4](../../Lectures/DA-L04.md).

## 2.1 Гіпотези, помилки, рівень значущості

**Статистична гіпотеза** — припущення про генеральну сукупність, яке перевіряють за
вибіркою. Перевірку будують навколо пари:

- **$H_0$** — основна (нульова) гіпотеза («ефекту/відмінності немає»);
- **$H_1$** — альтернативна гіпотеза, яку приймають, **якщо $H_0$ відхилено**.

Відхиляючи правильну $H_0$, роблять **помилку I роду** (її ймовірність — **рівень
значущості** $\alpha$); не відхиляючи хибну $H_0$ — **помилку II роду** ($\beta$).
Рівень $\alpha$ (типово $0.05$) задають **наперед**.

**Критична область** — множина значень статистики, за яких $H_0$ відхиляють. Її форма
повторює $H_1$:

- $H_1: \theta \ne \theta_0$ — **двобічна** (два хвости по $\alpha/2$);
- $H_1: \theta > \theta_0$ — **правобічна**; $H_1: \theta < \theta_0$ — **лівобічна**
  (один хвіст із усім $\alpha$).

**Алгоритм із 6 кроків:** (1) сформулювати $H_0$, $H_1$; (2) задати $\alpha$; (3)
обрати статистику; (4) визначити критичну область; (5) обчислити спостережене
значення статистики; (6) висновок — якщо статистика в критичній області, $H_0$
**відхиляють**, інакше **не відхиляють**. Еквівалентно: за **p-значенням** —
$H_0$ відхиляють, коли $p \le \alpha$.

## 2.2 Вибіркові характеристики

Для вибірки $x_1, \dots, x_n$ середнє та **незміщена** дисперсія:

$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2, \qquad s = \sqrt{s^2}. $$

Скрізь у цій роботі використовують саме незміщену дисперсію ($/(n-1)$) — вона входить
у всі статистики нижче.

## 2.3 Гіпотеза про математичне сподівання (t-критерій)

Перевіряють $H_0:\ \mu = \mu_0$ за однією вибіркою при **невідомій** $\sigma$.
Статистика та її розподіл за істинної $H_0$:

$$ T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad \text{df} = n - 1
\quad (\text{розподіл Стьюдента}). $$

Для двобічної альтернативи $H_1:\ \mu \ne \mu_0$ критична точка —
$t_{1-\alpha/2,\ n-1}$; $H_0$ відхиляють, якщо $|T| > t_{1-\alpha/2,\ n-1}$.

## 2.4 Гіпотеза про рівність двох дисперсій (F-критерій Фішера)

Для двох незалежних вибірок перевіряють $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$. Статистику
будують як відношення **більшої** вибіркової дисперсії до **меншої**:

$$ F = \frac{s_{\max}^2}{s_{\min}^2} \ (\ge 1), \qquad
\text{df} = (\,k_1,\ k_2\,) = (n_{\max}-1,\ n_{\min}-1), $$

де $n_{\max}$ — обсяг вибірки з **більшою** дисперсією. За істинної $H_0$ статистика
має розподіл Фішера $F(k_1, k_2)$. Для двобічної альтернативи
$H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ порівнюють із **верхньою** критичною точкою
$F_{1-\alpha/2}(k_1, k_2)$: $H_0$ відхиляють, якщо $F > F_{1-\alpha/2}(k_1, k_2)$.

## 2.5 Гіпотеза про рівність двох середніх

Перевіряють $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$. Варіант критерію залежить від того, **рівні
дисперсії чи ні** (це й з'ясовує F-критерій §2.4).

**(а) Дисперсії рівні — об'єднана (pooled) дисперсія.**

$$ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, \qquad
T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}, \qquad
\text{df} = n_1 + n_2 - 2. $$

**(б) Дисперсії різні — критерій Уелча.**

$$ T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}},
\qquad
\text{df} = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}
{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}. $$

Ступені свободи Уелча зазвичай дробові; округлюють **униз** (консервативно). В обох
випадках для $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$ $H_0$ відхиляють, якщо
$|T| > t_{1-\alpha/2,\ \text{df}}$.

## 2.6 Критичні значення (заміна таблиць)

Критичні точки — це квантилі відповідного розподілу. У Python їх дають функції
`scipy.stats`:

```text
t_крит   = scipy.stats.t.ppf(1 - alpha/2, df)          # двобічний t
F_крит   = scipy.stats.f.ppf(1 - alpha/2, k1, k2)      # двобічний F (верхня точка)
p_t      = 2 * (1 - scipy.stats.t.cdf(abs(T), df))     # p-значення (двобічне) для t
```

## 2.7 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах)

Порівняймо дві вибірки повним ланцюжком «F-критерій → критерій середніх» — саме це
робитиме домашня програма ([4task.md](4task.md)). Візьмемо $\alpha = 0.05$.

$$ X_1:\ 30,\ 32,\ 28,\ 31,\ 29,\ 30 \ (n_1 = 6); \qquad
X_2:\ 32,\ 38,\ 34,\ 35,\ 36,\ 33,\ 37 \ (n_2 = 7). $$

**Крок 1. Характеристики.**

$$ \bar{x}_1 = \frac{180}{6} = 30, \qquad \sum (x_i - \bar{x}_1)^2 = 10, \qquad
s_1^2 = \frac{10}{5} = 2.0; $$
$$ \bar{x}_2 = \frac{245}{7} = 35, \qquad \sum (x_i - \bar{x}_2)^2 = 28, \qquad
s_2^2 = \frac{28}{6} = 4.667. $$

**Крок 2. F-критерій рівності дисперсій.** $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$,
$H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$. Більша дисперсія — $s_2^2$:

$$ F = \frac{s_2^2}{s_1^2} = \frac{4.667}{2.0} = 2.333, \qquad \text{df} = (6,\ 5). $$

Критична точка $F_{0.975}(6, 5) = 6.978$. Оскільки $2.333 < 6.978$ — **дисперсії
можна вважати рівними** ($H_0$ не відхиляємо). Отже, для середніх беремо **об'єднану**
дисперсію.

**Крок 3. t-критерій рівності середніх (об'єднана дисперсія).**
$H_0:\ \mu_1 = \mu_2$, $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$.

$$ s_p^2 = \frac{5\cdot 2.0 + 6\cdot 4.667}{6 + 7 - 2} = \frac{10 + 28}{11} = 3.455,
\qquad s_p = 1.859, $$
$$ T = \frac{30 - 35}{1.859\sqrt{\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{7}}}
= \frac{-5}{1.859\cdot 0.5563} = \frac{-5}{1.034} = -4.835, \qquad \text{df} = 11. $$

Критична точка $t_{0.975,\ 11} = 2.201$. Оскільки $|{-4.835}| = 4.835 > 2.201$ —
**середні значуще різняться** ($H_0$ відхиляємо, $p \approx 0.0005$).

**Висновок демонстрації.** Розкид вибірок однаковий, але їхні центри різні: друга
сукупність зміщена вгору. Це і є типовий результат, який має видавати домашня
програма.

## 2.8 Робочий контрольний список

- Спочатку — **F-критерій** дисперсій; лише за його результатом обирайте варіант
  t-критерію (об'єднана дисперсія при рівних, Уелч при різних).
- У F-критерії **більшу** дисперсію ставте в чисельник (тоді $F \ge 1$), а ступені
  свободи — у порядку «чисельник, знаменник».
- Дисперсію беріть **незміщену** ($/(n-1)$); не плутайте з $/n$.
- Двобічний критерій → критична точка рівня $1-\alpha/2$ (а не $1-\alpha$).
- Рішення формулюйте однозначно: «$H_0$ **відхиляємо**» або «$H_0$ **не відхиляємо**»
  — і вкажіть, що це означає змістовно (дисперсії/середні рівні чи ні).