# 3. Аудиторні задачі з розв'язаннями

Ці задачі розбирають **в аудиторії «руками»**. Вони показують ті самі обчислення й
рішення, які потім автоматизує домашня програма ([4task.md](4task.md)). Теорія й
формули — у [методичних вказівках](2method.md). Скрізь $\alpha = 0.05$; дисперсії
**незміщені** ($/(n-1)$); критичні значення наведено з `scipy.stats`.

## Задача 1. Гіпотеза про математичне сподівання (t-критерій)

**Дано.** Нормативне значення показника — $\mu_0 = 19$. Вимірювання на вибірці з
$n = 10$ об'єктів:

$$ 18,\ 19,\ 20,\ 20,\ 21,\ 21,\ 22,\ 22,\ 23,\ 24. $$

**Перевірити** ($\alpha = 0.05$), чи відрізняється середнє від норми.

**Розв'язання.**

**Крок 1–2.** $H_0:\ \mu = 19$ проти $H_1:\ \mu \ne 19$ (двобічна); $\alpha = 0.05$.

**Крок 3.** Дисперсія генеральної сукупності невідома → **t-критерій**,
$T = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$, $\text{df} = n - 1 = 9$.

**Крок 4.** Критична точка (двобічна): $t_{0.975,\,9} = 2.2622$
(`scipy.stats.t.ppf(0.975, 9)`). Критична область: $|T| > 2.2622$.

**Крок 5.** Обчислимо характеристики. Сума $= 210$, тож

$$ \bar{x} = \frac{210}{10} = 21. $$

Відхилення від $21$: $-3, -2, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 3$; їх квадрати:
$9, 4, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 4, 9$; сума квадратів $= 30$. Тоді

$$ s^2 = \frac{30}{n-1} = \frac{30}{9} = 3.3333, \qquad s = 1.8257. $$
$$ T = \frac{21 - 19}{1.8257/\sqrt{10}} = \frac{2}{0.57735} = 3.4641. $$

**Крок 6. Висновок.** Оскільки $|T| = 3.4641 > 2.2622$, статистика в критичній
області — **$H_0$ відхиляємо**: середнє значуще відрізняється від норми $19$
($p \approx 0.0071$).

![Критична область t-критерію (df = 9) для Задачі 1: критичні точки мінус-плюс 2.262 і спостережене T = 3.46 у правому хвості — H0 відхиляємо](img/lab4_t_crit.png)

## Задача 2. Рівність двох дисперсій (F-критерій Фішера)

**Дано.** Дві незалежні вибірки (напр., точність двох приладів):

$$ A:\ 48,\ 52,\ 49,\ 51,\ 50,\ 47,\ 53,\ 50,\ 49,\ 51 \quad (n_1 = 10); $$
$$ B:\ 51,\ 55,\ 49,\ 57,\ 53,\ 50,\ 56,\ 53 \quad (n_2 = 8). $$

**Перевірити** ($\alpha = 0.05$), чи рівні їхні дисперсії.

**Розв'язання.**

**Крок 1–2.** $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ проти
$H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ (двобічна); $\alpha = 0.05$.

**Крок 3.** Обчислимо вибіркові дисперсії.

$$ \bar{x}_A = \frac{500}{10} = 50, \quad \sum (x - \bar{x}_A)^2 = 30, \quad
s_A^2 = \frac{30}{9} = 3.3333; $$
$$ \bar{x}_B = \frac{424}{8} = 53, \quad \sum (x - \bar{x}_B)^2 = 58, \quad
s_B^2 = \frac{58}{7} = 8.2857. $$

Більша дисперсія — $s_B^2$, тож ставимо її в чисельник:

$$ F = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{8.2857}{3.3333} = 2.4857, \qquad
\text{df} = (n_2 - 1,\ n_1 - 1) = (7,\ 9). $$

**Крок 4.** Критична точка $F_{0.975}(7, 9) = 4.1971$
(`scipy.stats.f.ppf(0.975, 7, 9)`). Критична область: $F > 4.1971$.

**Крок 5–6. Висновок.** Оскільки $F = 2.4857 < 4.1971$, статистика **поза** критичною
областю — **$H_0$ не відхиляємо** ($p \approx 0.20$): підстав вважати дисперсії
різними немає. Це дозволяє в наступній задачі скористатися **об'єднаною** дисперсією.

![Критична область F-критерію F(7, 9) для Задачі 2: верхня критична точка 4.197 і спостережене F = 2.49 в області прийняття — H0 не відхиляємо](img/lab4_f_crit.png)

## Задача 3. Рівність двох середніх при рівних дисперсіях (t-критерій)

**Дано.** Ті самі вибірки $A$ і $B$, що в Задачі 2 (дисперсії визнано рівними).

**Перевірити** ($\alpha = 0.05$), чи рівні їхні математичні сподівання.

**Розв'язання.**

**Крок 1–2.** $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$ проти $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$ (двобічна);
$\alpha = 0.05$.

**Крок 3.** Дисперсії рівні → t-критерій з **об'єднаною** дисперсією,
$\text{df} = n_1 + n_2 - 2 = 16$. З Задачі 2: $\bar{x}_A = 50$, $\bar{x}_B = 53$,
$s_A^2 = 3.3333$, $s_B^2 = 8.2857$.

$$ s_p^2 = \frac{(10-1)\cdot 3.3333 + (8-1)\cdot 8.2857}{10 + 8 - 2}
= \frac{30 + 58}{16} = 5.5, \qquad s_p = 2.3452. $$
$$ T = \frac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{s_p\sqrt{\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}}}
= \frac{50 - 53}{2.3452\sqrt{\tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{8}}}
= \frac{-3}{2.3452\cdot 0.47434} = \frac{-3}{1.1124} = -2.6968. $$

**Крок 4.** Критична точка $t_{0.975,\,16} = 2.1199$
(`scipy.stats.t.ppf(0.975, 16)`). Критична область: $|T| > 2.1199$.

**Крок 5–6. Висновок.** Оскільки $|T| = 2.6968 > 2.1199$ — **$H_0$ відхиляємо**
($p \approx 0.016$): середні вибірок $A$ і $B$ значуще різняться.

![Критична область t-критерію рівності двох середніх (df = 16) для Задачі 3: критичні точки мінус-плюс 2.120 і спостережене T = мінус 2.70 у лівому хвості — H0 відхиляємо](img/lab4_t_means.png)

> **Зв'язок із домашнім завданням.** Задачі 2 і 3 разом утворюють **повний
> ланцюжок**, який реалізує домашня програма ([4task.md](4task.md)): спочатку
> F-критерій рівності дисперсій, а **за його результатом** — відповідний критерій
> рівності середніх. Тут дисперсії виявилися рівними, тож застосовано об'єднану
> дисперсію; якби F-критерій відхилив рівність дисперсій, замість неї взяли б
> **критерій Уелча** (§2.5 [методичних вказівок](2method.md)). Ці три задачі —
> зручний **тест**: подайте ці вибірки на вхід програмі й переконайтесь, що вона
> повертає $F = 2.486$ (дисперсії рівні) і $T = -2.697$ (середні різні).