# 3. Аудиторні задачі з розв'язаннями

Ці задачі розбирають **в аудиторії «руками»**. Перша показує обчислення, які потім
автоматизує домашня програма ([4task.md](4task.md)); друга — критерій $\chi^2$ для
таблиці спряженості. Теорія й формули — у [методичних вказівках](2method.md).

## Задача 1. Кореляція, регресія та $R^2$

**Дано** вибірку з $n = 7$ пар: $x$ — середньодобова температура ($^\circ$C),
$y$ — денний обсяг продажів морозива (умовні одиниці):

| $x$ | 15 | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 | 30 |
|---|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| $y$ | 20 | 24 | 28 | 30 | 38 | 42 | 47 |

**Знайти** коефіцієнт кореляції $r$, рівняння регресії $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ та
коефіцієнт детермінації $R^2$; спрогнозувати продажі при $x = 24\,^\circ$C.

**Розв'язання.** Складемо **розрахункову таблицю**:

| $x_i$ | $y_i$ | $x_i y_i$ | $x_i^2$ | $y_i^2$ |
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| 15 | 20 | 300 | 225 | 400 |
| 18 | 24 | 432 | 324 | 576 |
| 20 | 28 | 560 | 400 | 784 |
| 22 | 30 | 660 | 484 | 900 |
| 25 | 38 | 950 | 625 | 1444 |
| 28 | 42 | 1176 | 784 | 1764 |
| 30 | 47 | 1410 | 900 | 2209 |
| **$\sum$ 158** | **229** | **5488** | **3742** | **8077** |

Отже, $n = 7$, $\bar{x} = 158/7 \approx 22.571$, $\bar{y} = 229/7 \approx 32.714$.
Проміжні величини:

$$
n\sum xy - \sum x \sum y = 7 \cdot 5488 - 158 \cdot 229 = 38\,416 - 36\,182 = 2234,
$$
$$
n\sum x^2 - (\sum x)^2 = 7 \cdot 3742 - 158^2 = 26\,194 - 24\,964 = 1230,
$$
$$
n\sum y^2 - (\sum y)^2 = 7 \cdot 8077 - 229^2 = 56\,539 - 52\,441 = 4098.
$$

**Коефіцієнт кореляції:**

$$
r = \frac{2234}{\sqrt{1230 \cdot 4098}} = \frac{2234}{\sqrt{5\,040\,540}} = \frac{2234}{2245.1} = 0.995.
$$

Зв'язок **дуже сильний** і **додатний**: продажі зростають з температурою.

**Рівняння регресії:**

$$
b_1 = \frac{2234}{1230} = 1.816, \qquad b_0 = 32.714 - 1.816 \cdot 22.571 = -8.281.
$$

Отже, $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$. Нахил $b_1 = 1.816$: кожен додатковий градус
підвищує продажі в середньому на $\approx 1.8$ од.

**Коефіцієнт детермінації.** Повна варіація
$\text{SST} = (n\sum y^2 - (\sum y)^2)/n = 4098/7 = 585.43$. Для простої лінійної
регресії $R^2 = r^2$:

$$
R^2 = 0.995^2 = 0.990,
$$

тобто $\text{SSR} = R^2 \cdot \text{SST} = 579.65$, а
$\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} = 5.78$. Модель пояснює **99 %** розкиду
продажів.

**Прогноз** при $x = 24$: $\hat{y} = -8.281 + 1.816 \cdot 24 = 35.31$ од.

**Значущість** (за бажанням): $t = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)} = 0.995\sqrt{5/0.0099} = 22.4$;
критичне $t_{0.025,\,5} = 2.571$. Оскільки $22.4 > 2.571$, кореляція **значуща**.

**Відповідь:** $r = 0.995$; $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$; $R^2 = 0.990$; прогноз
при $24\,^\circ$C — близько $35$ од.

![Діаграма розсіювання продажів морозива від температури з лінією регресії ŷ = −8.281 + 1.816·x та позначеним прогнозом при 24 °C; r = 0.995, R^2 = 0.990](img/lab5_scatter_regression.png)

> **Застереження про екстраполяцію.** Вільний член $b_0 = -8.281$ формально
> означав би «продажі при $0\,^\circ$C», але $x = 0$ **поза** діапазоном даних
> ($15$–$30\,^\circ$C), тож цю величину змістовно тлумачити не можна. Прогноз
> надійний лише всередині діапазону спостережень.

## Задача 2. Критерій згоди Пірсона ($\chi^2$)

**Дано** таблицю спряженості: опитано $N = 300$ глядачів двох вікових груп про
улюблений жанр фільмів (спостережувані частоти):

| | Комедія | Драма | Бойовик | **Усього** |
|---|:--:|:--:|:--:|:--:|
| **До 30 років** | 60 | 55 | 35 | 150 |
| **30 і старші** | 30 | 65 | 55 | 150 |
| **Усього** | 90 | 120 | 90 | **300** |

**Перевірити** на рівні значущості $\alpha = 0.05$ гіпотезу про **незалежність**
віку та жанрових уподобань.

**Розв'язання.** Гіпотези: $H_0$ — вік і жанр незалежні; $H_1$ — пов'язані.

**Крок 1. Очікувані частоти** $E_{ij} = (\text{рядок}_i)(\text{стовпець}_j)/N$.
Оскільки обидва рядки мають підсумок $150$, для кожного стовпця
$E = 150 \cdot (\text{сума стовпця})/300$:

| | Комедія | Драма | Бойовик |
|---|:--:|:--:|:--:|
| **До 30 років** | 45 | 60 | 45 |
| **30 і старші** | 45 | 60 | 45 |

Перевірка: суми $E$ по стовпцях $45+45=90$, $60+60=120$, $45+45=90$ — збігаються зі
спостережуваними. Усі $E_{ij} \ge 5$, тож критерій застосовний.

**Крок 2. Внески клітинок** $(O - E)^2 / E$:

$$
\frac{(60-45)^2}{45} = \frac{225}{45} = 5, \quad
\frac{(55-60)^2}{60} = \frac{25}{60} = 0.417, \quad
\frac{(35-45)^2}{45} = \frac{100}{45} = 2.222,
$$
$$
\frac{(30-45)^2}{45} = 5, \quad
\frac{(65-60)^2}{60} = 0.417, \quad
\frac{(55-45)^2}{45} = 2.222.
$$

**Крок 3. Статистика й рішення.**

$$
\chi^2 = 5 + 0.417 + 2.222 + 5 + 0.417 + 2.222 = 15.278,
$$
$$
\mathrm{df} = (2 - 1)(3 - 1) = 2.
$$

Критичне значення $\chi^2_{0.05,\,2} = 5.991$. Оскільки $15.278 > 5.991$, гіпотезу
незалежності **відхиляємо**.

**Відповідь:** $\chi^2 = 15.278 > 5.991 = \chi^2_{0.05,\,2}$ — вік і жанрові
уподобання **статистично пов'язані** (молодші тяжіють до комедій, старші — до драм
і бойовиків).

![Теплова карта таблиці спряженості «вік × жанр»: спостережені частоти та очікувані за незалежності; хі-квадрат = 15.28 при двох ступенях свободи](img/lab5_contingency.png)

> **Зв'язок із домашнім завданням.** Саме кроки Задачі 1 — прочитати пари,
> накопичити суми $\sum x$, $\sum y$, $\sum xy$, $\sum x^2$, $\sum y^2$, обчислити
> $r$, $b_0$, $b_1$ та $R^2$ — виконуватиме ваша програма для довільної вибірки
> пар ([4task.md](4task.md)). Дані Задачі 1 — зручний **тест**: подайте ці сім пар
> на вхід і переконайтесь, що програма повертає $r \approx 0.995$,
> $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$, $R^2 \approx 0.990$.