2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано теорію часових рядів — компоненти, згладжування, прогнозування та метрики похибки, — потрібну для аудиторних задач (3classroom.md) і домашньої програми (4task.md). Ширше цю саму теорію викладено в Лекції 14.

2.1 Часовий ряд та його компоненти #

Часовий ряд (англ. time series) — послідовність значень $x_1, x_2, \dots, x_n$ однієї величини, виміряних у послідовні рівновіддалені моменти часу $t = 1, 2, \dots, n$. Дві його риси: впорядкованість (порядок значень змістовний, переставляти не можна) і залежність сусідніх спостережень (знаючи $x_{t-1}$, ми вже дещо знаємо про $x_t$).

Ряд уявляють як накладання компонент: тренду $T_t$ (довгострокова тенденція), сезонності $S_t$ (коливання зі сталим періодом $L$), циклічності $C_t$ (коливання без фіксованого періоду) та шуму $e_t$ (випадкова частина). Їх поєднують адитивно ($x_t = T_t + S_t + e_t$, коли розмах коливань сталий) або мультиплікативно ($x_t = T_t \cdot S_t \cdot e_t$, коли розмах зростає разом із рівнем ряду).

2.2 Просте ковзне середнє #

Просте ковзне середнє (англ. simple moving average, SMA) з вікном $w$ — середнє $w$ останніх спостережень:

$$\mathrm{MA}_t^{(w)} = \frac{1}{w}\sum_{j=0}^{w-1} x_{t-j} = \frac{x_t + x_{t-1} + \dots + x_{t-w+1}}{w}, \qquad t \ge w.$$

Перші $w - 1$ значень не визначені (вікно ще не заповнене). Більше вікно $w$ — сильніше згладжування, але й більше запізнення за реальними змінами. Наведена форма спирається лише на минуле (кінцеве, trailing) — саме вона годиться для прогнозу. Для виділення тренду в розкладі ряду беруть центроване ковзне середнє (симетричне вікно навколо точки $t$).

2.3 Зважене ковзне середнє #

Зважене ковзне середнє (англ. weighted moving average, WMA) надає свіжішим точкам більшу вагу:

$$\mathrm{WMA}_t = \frac{\sum_{j=0}^{w-1} w_j\, x_{t-j}}{\sum_{j=0}^{w-1} w_j},$$

де ваги $w_j$ спадають від найсвіжішого спостереження до найстарішого. Проти простого середнього WMA швидше реагує на зміни рівня ряду.

2.4 Просте експоненційне згладжування #

Просте експоненційне згладжування (англ. single exponential smoothing, SES) забуває минуле плавно: ваги спостережень спадають геометрично. Рекурентна формула

$$\hat{x}_t = \alpha\, x_t + (1 - \alpha)\,\hat{x}_{t-1}, \qquad 0 < \alpha < 1,$$

зі стартом $\hat{x}_1 = x_1$. Кожна оцінка — компроміс між свіжим значенням $x_t$ (вага $\alpha$) і накопиченою історією $\hat{x}_{t-1}$ (вага $1 - \alpha$). Велике $\alpha$ — швидка реакція, слабке згладжування; мале $\alpha$ — сильне згладжування, повільна реакція. Просте SES не має компоненти тренду, тож на трендовому ряді відстає; тоді беруть метод Гольта (додає згладжений нахил).

2.5 Прогнозування #

Чотири базові методи прогнозу наступного значення $\hat{x}_{n+1}$:

• Наївний прогноз: $\hat{x}_{n+1} = x_n$ (останнє значення). Це еталон: корисніший метод має бути кращим за наївний.
• За ковзним середнім: $\hat{x}_{n+1} = \frac{1}{w}(x_n + \dots + x_{n-w+1})$. Для ряду без тренду.
• За трендом (лінійна регресія на час): будують пряму $\hat{x}_t = b_0 + b_1 t$ методом найменших квадратів (Лекція 5), де незалежна змінна — час $t$, і екстраполюють її на майбутні $t$:

  $$b_1 = \frac{\sum (t - \bar{t})(x_t - \bar{x})}{\sum (t - \bar{t})^2}, \qquad b_0 = \bar{x} - b_1 \bar{t}.$$

  Для ряду з вираженим трендом.
• За експоненційним згладжуванням: $\hat{x}_{n+1} = \hat{x}_n$ (остання згладжена оцінка).

2.6 Метрики похибки прогнозу #

Прогноз перевіряють, порівнюючи його з фактичними значеннями на відкладеній частині ряду. Для $m$ пар «факт $x_t$ — прогноз $\hat{x}_t$»:

$$\mathrm{MAE} = \frac{1}{m}\sum_{t} |x_t - \hat{x}_t|, \qquad \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{t} (x_t - \hat{x}_t)^2}, \qquad \mathrm{MAPE} = \frac{100\%}{m}\sum_{t} \left| \frac{x_t - \hat{x}_t}{x_t} \right|.$$

• MAE — середній промах в одиницях ряду; усі похибки рівноправні.
• RMSE — теж в одиницях ряду, але через квадрат сильніше карає великі промахи; завжди $\mathrm{RMSE} \ge \mathrm{MAE}$.
• MAPE — безрозмірна (у відсотках), придатна для порівняння різномасштабних рядів; не визначена при $x_t = 0$ і роздувається при малих $x_t$.

2.7 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах) #

Розгляньмо ряд середньодобової температури ($n = 8$): $16,\ 18,\ 17,\ 19,\ 21,\ 20,\ 22,\ 24$.

(а) Просте ковзне середнє, вікно $w = 3$. Перші два значення не визначені:

Згладжений ряд $17 \to 22$ рівномірно зростає — ковзне середнє виявило висхідний тренд, прибравши коливання.

(б) Просте експоненційне згладжування, $\alpha = 0.4$. Старт $\hat{x}_1 = 16$; далі за формулою $\hat{x}_t = 0.4\,x_t + 0.6\,\hat{x}_{t-1}$:

$$\hat{x}_2 = 0.4 \cdot 18 + 0.6 \cdot 16 = 16.800, \qquad \hat{x}_3 = 0.4 \cdot 17 + 0.6 \cdot 16.800 = 16.880,$$

$$\hat{x}_4 = 0.4 \cdot 19 + 0.6 \cdot 16.880 = 17.728, \qquad \hat{x}_5 = 0.4 \cdot 21 + 0.6 \cdot 17.728 = 19.037.$$

Продовживши: $\hat{x}_6 = 19.422$, $\hat{x}_7 = 20.453$, $\hat{x}_8 = 21.872$. Прогноз на наступний період — остання згладжена оцінка $\hat{x}_9 = 21.872$.

(в) Метрики похибки. Нехай на $m = 4$ періодах маємо факт і прогноз:

| $x_t$ (факт) | $\hat{x}_t$ (прогноз) | $x_t - \hat{x}_t$ | $|{\cdot}|$ | $(\cdot)^2$ | $|{\cdot}|/x_t$ | |:–:|:–:|:–:|:–:|:–:|:–:| | 21 | 20 | $+1$ | 1 | 1 | 0.04762 | | 20 | 21 | $-1$ | 1 | 1 | 0.05000 | | 22 | 21 | $+1$ | 1 | 1 | 0.04545 | | 24 | 23 | $+1$ | 1 | 1 | 0.04167 | | | | | 4 | 4 | 0.18474 |

$$\mathrm{MAE} = \frac{4}{4} = 1.000, \qquad \mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1.000, \qquad \mathrm{MAPE} = \frac{100\%}{4} \cdot 0.18474 = 4.62\%.$$

Тут усі похибки однакові за модулем ($1$), тож MAE $=$ RMSE; у середньому прогноз хибить на $1$ градус, або на $\approx 4.6\%$.

2.8 Робочий контрольний список #

• Не переставляйте значення ряду — порядок несе інформацію.
• Для ковзного середнього спершу зафіксуйте вікно $w$; перші $w - 1$ значень лишаються невизначеними.
• Для експоненційного згладжування зазначте сталу $\alpha$ і старт ($\hat{x}_1 = x_1$); рахуйте послідовно, кожне $\hat{x}_t$ спирається на попереднє.
• Прогноз обирайте під структуру ряду: без тренду — ковзне середнє чи SES; із трендом — регресія на час чи метод Гольта; наївний прогноз тримайте як еталон.
• Метрики MAE / RMSE / MAPE рахуйте на відкладеній частині (факт проти прогнозу), а не на даних навчання; MAPE не застосовуйте до рядів із нулями.

Laboratory/Laboratory14/2method.md · 10.0 KB · updated 2026-08-05 08:35