3. Аудиторні задачі з розв’язаннями #

Ці задачі розбирають в аудиторії «руками». Вони показують ті самі обчислення, які потім автоматизує домашня програма (4task.md). Теорія й формули — у методичних вказівках.

Задача 1. Характеристики за рядом розподілу #

Дано ряд розподілу випадкової величини $X$:

Знайти $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$.

Розв’язання. Спершу перевіримо нормування: $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.3 + 0.1 = 1$ — гаразд.

Математичне сподівання:

$$M(X) = 1(0.2) + 2(0.1) + 3(0.3) + 4(0.3) + 5(0.1) = 0.2 + 0.2 + 0.9 + 1.2 + 0.5 = 3.0.$$

Другий початковий момент:

$$M(X^2) = 1(0.2) + 4(0.1) + 9(0.3) + 16(0.3) + 25(0.1) = 0.2 + 0.4 + 2.7 + 4.8 + 2.5 = 10.6.$$

Дисперсія та СКВ:

$$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 10.6 - 3.0^2 = 10.6 - 9 = 1.6, \qquad \sigma = \sqrt{1.6} \approx 1.265.$$

Відповідь: $M(X) = 3.0$, $D(X) = 1.6$, $\sigma \approx 1.265$.

Задача 2. Характеристики за вибіркою (частотний ряд) #

Дано вибірку дискретних значень (результати експерименту), у якій значення повторюються:

$$4,\ 3,\ 2,\ 5,\ 4,\ 3,\ 4,\ 5,\ 2,\ 4,\ 3,\ 5,\ 4,\ 3,\ 4,\ 2,\ 5,\ 3,\ 4,\ 5.$$

Знайти вибіркове середнє, зміщену та незміщену вибіркові дисперсії й відповідні СКВ.

Розв’язання. Згорнемо вибірку в частотний ряд ($n = 20$):

Перевірка: $3 + 5 + 7 + 5 = 20 = n$.

Вибіркове середнє:

$$\bar{x} = \frac{2\cdot 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 7 + 5\cdot 5}{20} = \frac{6 + 15 + 28 + 25}{20} = \frac{74}{20} = 3.7.$$

Через $\overline{x^2}$:

$$\overline{x^2} = \frac{4\cdot 3 + 9\cdot 5 + 16\cdot 7 + 25\cdot 5}{20} = \frac{12 + 45 + 112 + 125}{20} = \frac{294}{20} = 14.7,$$

$$s_n^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 14.7 - 3.7^2 = 14.7 - 13.69 = 1.01.$$

Отже, зміщена оцінка $s_n^2 = 1.01$, $\ \sigma_n = \sqrt{1.01} \approx 1.005$.

Незміщена оцінка (поправка Бесселя): сума квадратів відхилень $\sum f_j (x_j - \bar{x})^2 = n\, s_n^2 = 20 \cdot 1.01 = 20.2$, тож

$$s^2 = \frac{20.2}{n-1} = \frac{20.2}{19} \approx 1.063, \qquad \sigma = \sqrt{1.063} \approx 1.031.$$

Відповідь: $\bar{x} = 3.7$; зміщена $s_n^2 = 1.01$ ($\sigma_n \approx 1.005$); незміщена $s^2 \approx 1.063$ ($\sigma \approx 1.031$).

Задача 3. Невелика вибірка без повторів #

Дано вибірку $10,\ 12,\ 9,\ 11,\ 8$ ($n = 5$). Знайти $\bar{x}$, $s_n^2$, $s^2$ та СКВ.

Розв’язання.

$$\bar{x} = \frac{10 + 12 + 9 + 11 + 8}{5} = \frac{50}{5} = 10.$$

Відхилення від середнього: $0,\ 2,\ -1,\ 1,\ -2$; їх квадрати: $0,\ 4,\ 1,\ 1,\ 4$; сума $= 10$. Тоді

$$s_n^2 = \frac{10}{5} = 2 \ \ (\sigma_n \approx 1.414), \qquad s^2 = \frac{10}{5-1} = 2.5 \ \ (\sigma \approx 1.581).$$

Відповідь: $\bar{x} = 10$; $s_n^2 = 2$ ($\sigma_n \approx 1.414$); $s^2 = 2.5$ ($\sigma \approx 1.581$).

Зв’язок із домашнім завданням. Саме ці кроки — прочитати значення, звести у частотний ряд, накопичити $\sum x$ та $\sum x^2$, обчислити середнє й дисперсію — виконуватиме ваша програма для довільного файлу CSV (4task.md). Задача 3 — зручний тест: подайте ці п’ять чисел на вхід і переконайтесь, що програма повертає $\bar{x}=10$, $s_n^2=2$.

Laboratory/Laboratory2/3classroom.md · 4.5 KB · updated 2026-08-05 09:27