3. Аудиторні задачі з розв’язаннями #

Ці задачі розбирають в аудиторії «руками». Задача 1 — описова статистика; Задачі 2 і 3 будують довірчі інтервали, які потім автоматизує домашня програма (4task.md). Теорія й формули — у методичних вказівках. Критичні значення наведено з scipy.stats (t.ppf, chi2.ppf).

Задача 1. Описова статистика невеликої вибірки #

Дано результати вимірювання (наприклад, бали за практичну роботу), $n = 9$:

$$10,\ 4,\ 9,\ 8,\ 10,\ 7,\ 3,\ 11,\ 10.$$

Знайти середнє, медіану, моду, квартилі $Q_1, Q_3$ та $\mathrm{IQR}$; перевірити наявність викидів.

Розв’язання. Побудуємо варіаційний ряд (упорядкуємо за неспаданням):

$$3,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11.$$

Середнє. Сума $\sum x_i = 3+4+7+8+9+10+10+10+11 = 72$, тож

$$\bar{x} = \frac{72}{9} = 8.$$

Медіана. Оскільки $n = 9$ непарне, $\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} = x_{(5)} = 9$ (п’ятий член ряду).

Мода. Найчастіше значення — $10$ (трапляється тричі), решта — по одному разу: $\mathrm{Mo} = 10$.

Квартилі (метод лінійної інтерполяції, нумерація з нуля):

$$h_{25} = (9-1)\cdot 0.25 = 2 \ \Rightarrow\ Q_1 = x_{(2)} = 7, \qquad h_{75} = (9-1)\cdot 0.75 = 6 \ \Rightarrow\ Q_3 = x_{(6)} = 10,$$

(де $x_{(2)}, x_{(6)}$ — члени ряду на позиціях $2$ і $6$ у нумерації з нуля). Тоді

$$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 = 10 - 7 = 3.$$

Викиди. Межі за правилом $1.5\,\mathrm{IQR}$:

$$[\,Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR},\ Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}\,] = [\,7 - 4.5,\ 10 + 4.5\,] = [\,2.5;\ 14.5\,].$$

Усі значення від $3$ до $11$ лежать усередині — викидів немає.

Відповідь: $\bar{x} = 8$, $\mathrm{Me} = 9$, $\mathrm{Mo} = 10$, $Q_1 = 7$, $Q_3 = 10$, $\mathrm{IQR} = 3$; викидів немає. Оскільки $\bar{x} = 8 < \mathrm{Me} = 9$, розподіл злегка скошений вліво.

Задача 2. ДІ для математичного сподівання (невідома $\sigma$) #

Дано вибірку результатів експерименту ($n = 10$):

$$8,\ 10,\ 12,\ 9,\ 11,\ 10,\ 13,\ 7,\ 12,\ 8.$$

Знайти $95\%$ довірчий інтервал для математичного сподівання $\mu$ (рівень значущості $\alpha = 0.05$; $\sigma$ невідома).

Розв’язання. Обчислимо вибіркові середнє та дисперсію. Сума $\sum x_i = 100$, тож

$$\bar{x} = \frac{100}{10} = 10.$$

Відхилення від $\bar{x} = 10$: $-2, 0, 2, -1, 1, 0, 3, -3, 2, -2$; їх квадрати: $4, 0, 4, 1, 1, 0, 9, 9, 4, 4$; сума $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 36$. Незміщена дисперсія та СКВ:

$$s^2 = \frac{36}{n-1} = \frac{36}{9} = 4, \qquad s = \sqrt{4} = 2.$$

Ступенів свободи $n - 1 = 9$; критичне значення розподілу Стьюдента $t_{0.025,\,9} = 2.2622$. Похибка оцінки:

$$E = t_{0.025,\,9}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2.2622\cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = 2.2622\cdot 0.6325 \approx 1.431.$$

Отже, довірчий інтервал:

$$\bar{x} \pm E = 10 \pm 1.431 \ \Rightarrow\ (8.569;\ 11.431).$$

Відповідь: з надійністю $95\%$ математичне сподівання $\mu \in (8.57;\ 11.43)$.

Задача 3. ДІ для дисперсії (розподіл $\chi^2$) #

Дано ту саму вибірку, що в Задачі 2 ($n = 10$, $s^2 = 4$).

Знайти $95\%$ довірчий інтервал для дисперсії $\sigma^2$ та для СКВ $\sigma$ ($\alpha = 0.05$).

Розв’язання. Ступенів свободи $n - 1 = 9$. Критичні значення розподілу $\chi^2$:

$$\chi^2_{0.025,\,9} = 19.0228 \ (\text{більше}), \qquad \chi^2_{0.975,\,9} = 2.7004 \ (\text{менше}).$$

Чисельник $(n-1)s^2 = 9\cdot 4 = 36$. За формулою (більше критичне значення — у знаменнику нижньої межі):

$$\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025,\,9}},\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975,\,9}} \right) = \left( \frac{36}{19.0228},\ \frac{36}{2.7004} \right) = (1.892;\ 13.331).$$

Для СКВ добуваємо корінь із меж:

$$\left( \sqrt{1.892},\ \sqrt{13.331} \right) = (1.376;\ 3.651).$$

Відповідь: з надійністю $95\%$ дисперсія $\sigma^2 \in (1.89;\ 13.33)$, а $\sigma \in (1.38;\ 3.65)$. Інтервал несиметричний відносно $s^2 = 4$ — на малій вибірці ($n = 10$) оцінка дисперсії дуже неточна (верхня межа більш ніж уп’ятеро перевищує нижню).

Зв’язок із домашнім завданням. Саме ці кроки — прочитати значення, обчислити $\bar{x}$ і $s^2$, знайти критичні значення $t$ та $\chi^2$ за заданим $\alpha$ і підставити у формули — виконуватиме ваша програма для довільного файлу CSV (4task.md). Вибірка Задач 2–3 — зручний тест: подайте ці десять чисел і рівень $\alpha = 0.05$ й переконайтесь, що програма повертає ДІ для середнього $(8.57;\ 11.43)$ та для дисперсії $(1.89;\ 13.33)$.

Laboratory/Laboratory3/3classroom.md · 6.9 KB · updated 2026-08-05 09:38