2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано теорію описової статистики та довірчих інтервалів, потрібну для аудиторних задач (3classroom.md) і домашньої програми (4task.md). Ширше ту саму теорію викладено в Лекції 3.

2.1 Вибірка та варіаційний ряд #

Вибірка $x_1, x_2, \dots, x_n$ — це $n$ результатів експерименту (спостережень) над випадковою величиною. Упорядкувавши їх за неспаданням, дістають варіаційний ряд $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$; крайні члени — $x_{\min}$ і $x_{\max}$, а $R = x_{\max} - x_{\min}$ — розмах. Упорядкування потрібне для медіани та квартилів.

2.2 Характеристики центру #

Вибіркове середнє (оцінка математичного сподівання $\mu$):

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i.$$

Медіана $\mathrm{Me}$ — центральний член варіаційного ряду:

$$\mathrm{Me} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text{ непарне}, \\[4pt] \dfrac{1}{2}\left( x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)} \right), & n \text{ парне}. \end{cases}$$

Мода $\mathrm{Mo}$ — значення з найбільшою частотою (може бути відсутньою, якщо всі значення різні, або неєдиною). Середнє використовує всі дані, але чутливе до викидів; медіана робастна (стійка до викидів); мода придатна і для якісних даних.

2.3 Квантилі, квартилі та IQR #

Квантиль рівня $p$ — значення $Q_p$, ліворуч від якого лежить частка $p$ даних. Квартилі $Q_1$ ($p = 0.25$), $Q_2 = \mathrm{Me}$ ($p = 0.5$), $Q_3$ ($p = 0.75$) ділять дані на чотири рівні частини. За методом лінійної інтерполяції (нумерація з нуля) беруть позицію $h = (n - 1)p$: якщо $h$ ціле, $Q_p = x_{(h)}$, інакше інтерполюють між сусідніми членами. Міжквартильний розмах

$$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$$

— робастна міра розкиду; значення поза межами $[\,Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR},\ Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}\,]$ вважають викидами.

2.4 Вибіркова дисперсія та ступені свободи #

Незміщена вибіркова дисперсія (оцінка $\sigma^2$) ділить на $n - 1$:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}\left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\,\bar{x}^2 \right), \qquad s = \sqrt{s^2}.$$

Друга форма (через $\sum x_i^2$ і $\bar{x}$) зручніша для програми — потрібні лише суми $\sum x_i$ і $\sum x_i^2$. Ділять на $n - 1$ (поправка Бесселя), бо відхилення беруть від вибіркового $\bar{x}$; вони зв’язані тотожністю $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$, тож вільних відхилень лише $n - 1$ — стільки й ступенів свободи.

2.5 Довірчий інтервал: суть #

Довірчий інтервал із довірчою ймовірністю (надійністю) $1 - \alpha$ — проміжок, що накриває невідомий параметр із цією ймовірністю; $\alpha$ — рівень значущості. Двобічний інтервал відрізає по $\alpha/2$ з кожного хвоста. Критичне значення позначаємо за площею праворуч від нього; у scipy.stats (функція ppf дає площу ліворуч):

$$t_{\alpha/2,\,n-1} = \texttt{t.ppf}(1 - \alpha/2,\ n-1), \quad \chi^2_{\alpha/2,\,n-1} = \texttt{chi2.ppf}(1 - \alpha/2,\ n-1), \quad \chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1} = \texttt{chi2.ppf}(\alpha/2,\ n-1).$$

2.6 ДІ для математичного сподівання (невідома $\sigma$) #

Коли $\sigma$ невідома (звичайний випадок), її замінюють на $s$, а критичне значення беруть із розподілу Стьюдента з $n - 1$ ступенями свободи:

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}, \qquad E = t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \ \text{— похибка оцінки}.$$

(Якщо $\sigma$ відома, то замість $t$ і $s$ беруть $z_{\alpha/2}$ і $\sigma$: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$.)

2.7 ДІ для дисперсії (розподіл $\chi^2$) #

Величина $(n-1)s^2/\sigma^2$ має розподіл $\chi^2$ з $n - 1$ ступенями свободи, звідки несиметричний інтервал:

$$\left( \frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}, \quad \frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}} \right).$$

У знаменнику нижньої межі — більше критичне значення, верхньої — менше. Інтервал для $\sigma$ дістають добуванням кореня з меж.

2.8 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах) #

Дано вибірку ($n = 9$):

$$4,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 15,\ 16.$$

(а) Описові характеристики. Вибірка вже впорядкована. Сума $\sum x_i = 90$, тож

$$\bar{x} = \frac{90}{9} = 10, \qquad \mathrm{Me} = x_{(5)} = 10, \qquad \mathrm{Mo} \ \text{— відсутня (усі значення різні)}.$$

Квартилі (нумерація з нуля): $h_{25} = (9-1)\cdot 0.25 = 2 \Rightarrow Q_1 = 7$; $h_{75} = 6 \Rightarrow Q_3 = 12$; отже $\mathrm{IQR} = 12 - 7 = 5$. Межі викидів $[\,7 - 7.5,\ 12 + 7.5\,] = [-0.5;\ 19.5]$ — викидів немає.

(б) Вибіркова дисперсія. Відхилення від $\bar{x} = 10$: $-6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5, 6$; квадрати: $36, 16, 9, 1, 0, 1, 4, 25, 36$; їх сума $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 128$. Тоді

$$s^2 = \frac{128}{n - 1} = \frac{128}{8} = 16, \qquad s = \sqrt{16} = 4.$$

(в) ДІ для математичного сподівання ($\alpha = 0.05$, невідома $\sigma$). Ступенів свободи $n - 1 = 8$; критичне значення $t_{0.025,\,8} = 2.3060$. Похибка

$$E = t_{0.025,\,8}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2.3060\cdot \frac{4}{\sqrt{9}} = 2.3060\cdot \frac{4}{3} \approx 3.075.$$

Отже, $95\%$ ДІ для $\mu$:

$$10 \pm 3.075 \ \Rightarrow\ (6.925;\ 13.075).$$

(г) ДІ для дисперсії ($\alpha = 0.05$, $n - 1 = 8$). Критичні значення $\chi^2_{0.025,\,8} = 17.5345$ і $\chi^2_{0.975,\,8} = 2.1797$; чисельник $(n-1)s^2 = 8\cdot 16 = 128$. Тоді

$$\left( \frac{128}{17.5345},\ \frac{128}{2.1797} \right) = (7.30;\ 58.72) \quad \text{для } \sigma^2, \qquad (\sqrt{7.30};\ \sqrt{58.72}) = (2.70;\ 7.66) \quad \text{для } \sigma.$$

Інтервал для дисперсії явно несиметричний відносно $s^2 = 16$ — така природа розподілу $\chi^2$.

2.9 Робочий контрольний список #

• Спершу впорядкуйте вибірку — це потрібно для медіани та квартилів.
• Дисперсію рахуйте через суми: $s^2 = \big(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\big)/(n-1)$ — один прохід по даних.
• Перед побудовою ДІ переконайтесь, що взяли правильний критичний розподіл: Стьюдента (з $n - 1$ ст. св.) для $\mu$ при невідомій $\sigma$; $\chi^2$ (з $n - 1$ ст. св.) для $\sigma^2$.
• Для $\chi^2$-інтервалу не переплутайте хвости: більше критичне значення — у знаменнику нижньої межі.
• Значення $\alpha$ беріть лише з дозволених: $0.05$, $0.01$, $0.1$.

Laboratory/Laboratory3/2method.md · 8.8 KB · updated 2026-08-04 23:32