2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано теорію числових характеристик дискретної випадкової величини та вибіркових оцінок, потрібну для аудиторних задач (3classroom.md) і домашньої програми (4task.md). Ширше ту саму теорію викладено в Лекції 2.

2.1 Випадкова величина та ряд розподілу #

Дискретна випадкова величина $X$ набуває скінченної (чи зліченної) множини значень $x_1, x_2, \dots, x_n$ з імовірностями $p_1, p_2, \dots, p_n$. Її задають рядом розподілу — таблицею «значення → ймовірність»:

Ймовірності невід’ємні й нормовані:

$$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1.$$

2.2 Математичне сподівання #

Математичне сподівання (середнє значення) — це «центр ваги» розподілу:

$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\, p_i.$$

Основні властивості: $M(C) = C$ для сталої $C$; $M(CX) = C\,M(X)$; $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$.

2.3 Дисперсія та середньоквадратичне відхилення #

Дисперсія вимірює розкид значень навколо сподівання:

$$D(X) = M\big[(X - M(X))^2\big] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2\, p_i.$$

На практиці зручніша обчислювальна формула (той самий результат, менше арифметики):

$$D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2, \qquad M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2\, p_i.$$

Середньоквадратичне відхилення (СКВ) повертає розкид у ті самі одиниці, що й сама величина:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}.$$

Властивості: $D(C) = 0$; $D(CX) = C^2 D(X)$; для незалежних $X, Y$ — $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

2.4 Вибіркові оцінки #

На практиці розподіл невідомий — є лише вибірка $x_1, x_2, \dots, x_n$ (результати експерименту). Тоді характеристики оцінюють за даними.

Вибіркове середнє (оцінка $M(X)$):

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i.$$

Вибіркова дисперсія буває у двох версіях:

$$\underbrace{s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}_{\text{зміщена}}, \qquad \underbrace{s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}_{\text{незміщена}}.$$

Ділення на $n-1$ (поправка Бесселя) робить оцінку незміщеною — у середньому вона дорівнює справжній $D(X)$; саме її зазвичай беруть як «вибіркову дисперсію» в статистиці (див. Лекцію 3). Ділення на $n$ дає характеристику наявних даних як генеральної сукупності. СКВ вибірки — корінь із відповідної дисперсії.

2.5 Варіаційний (частотний) ряд #

Коли дискретне значення повторюється, вибірку зручно згорнути в частотний ряд: кожному унікальному значенню $x_j$ ставлять у відповідність частоту $f_j$ (скільки разів воно трапилось), $\sum_j f_j = n$. Тоді

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_j f_j\, x_j, \qquad s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_j f_j\, (x_j - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_j f_j x_j^2 - \bar{x}^2.$$

Відносна частота $p_j = f_j / n$ — це емпіричний аналог імовірності; частотний ряд — емпіричний аналог ряду розподілу. Саме так природно опрацьовувати «дискретні значення експерименту» з файлу CSV у домашньому завданні.

2.6 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах) #

(а) За рядом розподілу. Нехай

Перевірка нормування: $0.1+0.3+0.4+0.2 = 1$. Тоді

$$M(X) = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2) = 1.7,$$

$$M(X^2) = 0(0.1) + 1(0.3) + 4(0.4) + 9(0.2) = 3.7,$$

$$D(X) = 3.7 - 1.7^2 = 3.7 - 2.89 = 0.81, \qquad \sigma = \sqrt{0.81} = 0.9.$$

(б) За вибіркою (частотний ряд). Нехай значення $\{2, 4, 6\}$ трапились із частотами $\{2, 5, 3\}$, тобто $n = 10$:

$$\bar{x} = \frac{2\cdot 2 + 4\cdot 5 + 6\cdot 3}{10} = \frac{42}{10} = 4.2,$$

$$\frac{1}{n}\sum f_j x_j^2 = \frac{4\cdot 2 + 16\cdot 5 + 36\cdot 3}{10} = \frac{196}{10} = 19.6,$$

$$s_n^2 = 19.6 - 4.2^2 = 19.6 - 17.64 = 1.96, \qquad \sigma = \sqrt{1.96} = 1.4.$$

Незміщена оцінка: $s^2 = \dfrac{n}{n-1}\, s_n^2 = \dfrac{10}{9}\cdot 1.96 \approx 2.18$, звідки $\sigma \approx 1.48$.

2.7 Робочий контрольний список #

• Спершу переконайтесь, що ймовірності нормовані ($\sum p_i = 1$) — для ряду розподілу.
• Дисперсію рахуйте формулою $M(X^2) - (M(X))^2$: коротше й менше похибок.
• Для вибірки одразу вирішіть, яка дисперсія потрібна — зміщена ($/n$) чи незміщена ($/(n-1)$) — і зазначте це.
• Повтори дискретних значень зводьте у частотний ряд; тоді програма для CSV зводиться до одного проходу з накопиченням $\sum x$, $\sum x^2$ і $n$.

Laboratory/Laboratory2/2method.md · 6.6 KB · updated 2026-08-05 09:27