3. Аудиторні задачі з розв’язаннями #

Ці задачі розбирають в аудиторії «руками». Перша показує обчислення, які потім автоматизує домашня програма (4task.md); друга — критерій $\chi^2$ для таблиці спряженості. Теорія й формули — у методичних вказівках.

Задача 1. Кореляція, регресія та $R^2$ #

Дано вибірку з $n = 7$ пар: $x$ — середньодобова температура ($^\circ$C), $y$ — денний обсяг продажів морозива (умовні одиниці):

Знайти коефіцієнт кореляції $r$, рівняння регресії $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ та коефіцієнт детермінації $R^2$; спрогнозувати продажі при $x = 24,^\circ$C.

Розв’язання. Складемо розрахункову таблицю:

Отже, $n = 7$, $\bar{x} = 158/7 \approx 22.571$, $\bar{y} = 229/7 \approx 32.714$. Проміжні величини:

$$n\sum xy - \sum x \sum y = 7 \cdot 5488 - 158 \cdot 229 = 38\,416 - 36\,182 = 2234,$$

$$n\sum x^2 - (\sum x)^2 = 7 \cdot 3742 - 158^2 = 26\,194 - 24\,964 = 1230,$$

$$n\sum y^2 - (\sum y)^2 = 7 \cdot 8077 - 229^2 = 56\,539 - 52\,441 = 4098.$$

Коефіцієнт кореляції:

$$r = \frac{2234}{\sqrt{1230 \cdot 4098}} = \frac{2234}{\sqrt{5\,040\,540}} = \frac{2234}{2245.1} = 0.995.$$

Зв’язок дуже сильний і додатний: продажі зростають з температурою.

Рівняння регресії:

$$b_1 = \frac{2234}{1230} = 1.816, \qquad b_0 = 32.714 - 1.816 \cdot 22.571 = -8.281.$$

Отже, $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$. Нахил $b_1 = 1.816$: кожен додатковий градус підвищує продажі в середньому на $\approx 1.8$ од.

Коефіцієнт детермінації. Повна варіація $\text{SST} = (n\sum y^2 - (\sum y)^2)/n = 4098/7 = 585.43$. Для простої лінійної регресії $R^2 = r^2$:

$$R^2 = 0.995^2 = 0.990,$$

тобто $\text{SSR} = R^2 \cdot \text{SST} = 579.65$, а $\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} = 5.78$. Модель пояснює 99 % розкиду продажів.

Прогноз при $x = 24$: $\hat{y} = -8.281 + 1.816 \cdot 24 = 35.31$ од.

Значущість (за бажанням): $t = r\sqrt{(n-2)/(1-r^2)} = 0.995\sqrt{5/0.0099} = 22.4$; критичне $t_{0.025,\,5} = 2.571$. Оскільки $22.4 > 2.571$, кореляція значуща.

Відповідь: $r = 0.995$; $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$; $R^2 = 0.990$; прогноз при $24,^\circ$C — близько $35$ од.

Застереження про екстраполяцію. Вільний член $b_0 = -8.281$ формально означав би «продажі при $0,^\circ$C», але $x = 0$ поза діапазоном даних ($15$–$30,^\circ$C), тож цю величину змістовно тлумачити не можна. Прогноз надійний лише всередині діапазону спостережень.

Задача 2. Критерій згоди Пірсона ($\chi^2$) #

Дано таблицю спряженості: опитано $N = 300$ глядачів двох вікових груп про улюблений жанр фільмів (спостережувані частоти):

Перевірити на рівні значущості $\alpha = 0.05$ гіпотезу про незалежність віку та жанрових уподобань.

Розв’язання. Гіпотези: $H_0$ — вік і жанр незалежні; $H_1$ — пов’язані.

Крок 1. Очікувані частоти $E_{ij} = (\text{рядок}_i)(\text{стовпець}_j)/N$. Оскільки обидва рядки мають підсумок $150$, для кожного стовпця $E = 150 \cdot (\text{сума стовпця})/300$:

Перевірка: суми $E$ по стовпцях $45+45=90$, $60+60=120$, $45+45=90$ — збігаються зі спостережуваними. Усі $E_{ij} \ge 5$, тож критерій застосовний.

Крок 2. Внески клітинок $(O - E)^2 / E$:

$$\frac{(60-45)^2}{45} = \frac{225}{45} = 5, \quad \frac{(55-60)^2}{60} = \frac{25}{60} = 0.417, \quad \frac{(35-45)^2}{45} = \frac{100}{45} = 2.222,$$

$$\frac{(30-45)^2}{45} = 5, \quad \frac{(65-60)^2}{60} = 0.417, \quad \frac{(55-45)^2}{45} = 2.222.$$

Крок 3. Статистика й рішення.

$$\chi^2 = 5 + 0.417 + 2.222 + 5 + 0.417 + 2.222 = 15.278,$$

$$\mathrm{df} = (2 - 1)(3 - 1) = 2.$$

Критичне значення $\chi^2_{0.05,\,2} = 5.991$. Оскільки $15.278 > 5.991$, гіпотезу незалежності відхиляємо.

Відповідь: $\chi^2 = 15.278 > 5.991 = \chi^2_{0.05,\,2}$ — вік і жанрові уподобання статистично пов’язані (молодші тяжіють до комедій, старші — до драм і бойовиків).

Зв’язок із домашнім завданням. Саме кроки Задачі 1 — прочитати пари, накопичити суми $\sum x$, $\sum y$, $\sum xy$, $\sum x^2$, $\sum y^2$, обчислити $r$, $b_0$, $b_1$ та $R^2$ — виконуватиме ваша програма для довільної вибірки пар (4task.md). Дані Задачі 1 — зручний тест: подайте ці сім пар на вхід і переконайтесь, що програма повертає $r \approx 0.995$, $\hat{y} = -8.281 + 1.816\,x$, $R^2 \approx 0.990$.

Laboratory/Laboratory5/3classroom.md · 7.4 KB · updated 2026-08-05 09:57