2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано теорію перевірки статистичних гіпотез, потрібну для аудиторних задач (3classroom.md) і домашньої програми (4task.md). Ширше ту саму теорію викладено в Лекції 4.

2.1 Гіпотези, помилки, рівень значущості #

Статистична гіпотеза — припущення про генеральну сукупність, яке перевіряють за вибіркою. Перевірку будують навколо пари:

• $H_0$ — основна (нульова) гіпотеза («ефекту/відмінності немає»);
• $H_1$ — альтернативна гіпотеза, яку приймають, якщо $H_0$ відхилено.

Відхиляючи правильну $H_0$, роблять помилку I роду (її ймовірність — рівень значущості $\alpha$); не відхиляючи хибну $H_0$ — помилку II роду ($\beta$). Рівень $\alpha$ (типово $0.05$) задають наперед.

Критична область — множина значень статистики, за яких $H_0$ відхиляють. Її форма повторює $H_1$:

• $H_1: \theta \ne \theta_0$ — двобічна (два хвости по $\alpha/2$);
• $H_1: \theta > \theta_0$ — правобічна; $H_1: \theta < \theta_0$ — лівобічна (один хвіст із усім $\alpha$).

Алгоритм із 6 кроків: (1) сформулювати $H_0$, $H_1$; (2) задати $\alpha$; (3) обрати статистику; (4) визначити критичну область; (5) обчислити спостережене значення статистики; (6) висновок — якщо статистика в критичній області, $H_0$ відхиляють, інакше не відхиляють. Еквівалентно: за p-значенням — $H_0$ відхиляють, коли $p \le \alpha$.

2.2 Вибіркові характеристики #

Для вибірки $x_1, \dots, x_n$ середнє та незміщена дисперсія:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2, \qquad s = \sqrt{s^2}.$$

Скрізь у цій роботі використовують саме незміщену дисперсію ($/(n-1)$) — вона входить у всі статистики нижче.

2.3 Гіпотеза про математичне сподівання (t-критерій) #

Перевіряють $H_0:\ \mu = \mu_0$ за однією вибіркою при невідомій $\sigma$. Статистика та її розподіл за істинної $H_0$:

$$T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad \text{df} = n - 1 \quad (\text{розподіл Стьюдента}).$$

Для двобічної альтернативи $H_1:\ \mu \ne \mu_0$ критична точка — $t_{1-\alpha/2,\ n-1}$; $H_0$ відхиляють, якщо $|T| > t_{1-\alpha/2,\ n-1}$.

2.4 Гіпотеза про рівність двох дисперсій (F-критерій Фішера) #

Для двох незалежних вибірок перевіряють $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$. Статистику будують як відношення більшої вибіркової дисперсії до меншої:

$$F = \frac{s_{\max}^2}{s_{\min}^2} \ (\ge 1), \qquad \text{df} = (\,k_1,\ k_2\,) = (n_{\max}-1,\ n_{\min}-1),$$

де $n_{\max}$ — обсяг вибірки з більшою дисперсією. За істинної $H_0$ статистика має розподіл Фішера $F(k_1, k_2)$. Для двобічної альтернативи $H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ порівнюють із верхньою критичною точкою $F_{1-\alpha/2}(k_1, k_2)$: $H_0$ відхиляють, якщо $F > F_{1-\alpha/2}(k_1, k_2)$.

2.5 Гіпотеза про рівність двох середніх #

Перевіряють $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$. Варіант критерію залежить від того, рівні дисперсії чи ні (це й з’ясовує F-критерій §2.4).

(а) Дисперсії рівні — об’єднана (pooled) дисперсія.

$$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, \qquad T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}, \qquad \text{df} = n_1 + n_2 - 2.$$

(б) Дисперсії різні — критерій Уелча.

$$T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}, \qquad \text{df} = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.$$

Ступені свободи Уелча зазвичай дробові; округлюють униз (консервативно). В обох випадках для $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$ $H_0$ відхиляють, якщо $|T| > t_{1-\alpha/2,\ \text{df}}$.

2.6 Критичні значення (заміна таблиць) #

Критичні точки — це квантилі відповідного розподілу. У Python їх дають функції scipy.stats:

t_крит   = scipy.stats.t.ppf(1 - alpha/2, df)          # двобічний t
F_крит   = scipy.stats.f.ppf(1 - alpha/2, k1, k2)      # двобічний F (верхня точка)
p_t      = 2 * (1 - scipy.stats.t.cdf(abs(T), df))     # p-значення (двобічне) для t

2.7 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах) #

Порівняймо дві вибірки повним ланцюжком «F-критерій → критерій середніх» — саме це робитиме домашня програма (4task.md). Візьмемо $\alpha = 0.05$.

$$X_1:\ 30,\ 32,\ 28,\ 31,\ 29,\ 30 \ (n_1 = 6); \qquad X_2:\ 32,\ 38,\ 34,\ 35,\ 36,\ 33,\ 37 \ (n_2 = 7).$$

Крок 1. Характеристики.

$$\bar{x}_1 = \frac{180}{6} = 30, \qquad \sum (x_i - \bar{x}_1)^2 = 10, \qquad s_1^2 = \frac{10}{5} = 2.0;$$

$$\bar{x}_2 = \frac{245}{7} = 35, \qquad \sum (x_i - \bar{x}_2)^2 = 28, \qquad s_2^2 = \frac{28}{6} = 4.667.$$

Крок 2. F-критерій рівності дисперсій. $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$, $H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$. Більша дисперсія — $s_2^2$:

$$F = \frac{s_2^2}{s_1^2} = \frac{4.667}{2.0} = 2.333, \qquad \text{df} = (6,\ 5).$$

Критична точка $F_{0.975}(6, 5) = 6.978$. Оскільки $2.333 < 6.978$ — дисперсії можна вважати рівними ($H_0$ не відхиляємо). Отже, для середніх беремо об’єднану дисперсію.

Крок 3. t-критерій рівності середніх (об’єднана дисперсія). $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$, $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$.

$$s_p^2 = \frac{5\cdot 2.0 + 6\cdot 4.667}{6 + 7 - 2} = \frac{10 + 28}{11} = 3.455, \qquad s_p = 1.859,$$

$$T = \frac{30 - 35}{1.859\sqrt{\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{7}}} = \frac{-5}{1.859\cdot 0.5563} = \frac{-5}{1.034} = -4.835, \qquad \text{df} = 11.$$

Критична точка $t_{0.975,\ 11} = 2.201$. Оскільки $|{-4.835}| = 4.835 > 2.201$ — середні значуще різняться ($H_0$ відхиляємо, $p \approx 0.0005$).

Висновок демонстрації. Розкид вибірок однаковий, але їхні центри різні: друга сукупність зміщена вгору. Це і є типовий результат, який має видавати домашня програма.

2.8 Робочий контрольний список #

• Спочатку — F-критерій дисперсій; лише за його результатом обирайте варіант t-критерію (об’єднана дисперсія при рівних, Уелч при різних).
• У F-критерії більшу дисперсію ставте в чисельник (тоді $F \ge 1$), а ступені свободи — у порядку «чисельник, знаменник».
• Дисперсію беріть незміщену ($/(n-1)$); не плутайте з $/n$.
• Двобічний критерій → критична точка рівня $1-\alpha/2$ (а не $1-\alpha$).
• Рішення формулюйте однозначно: «$H_0$ відхиляємо» або «$H_0$ не відхиляємо» — і вкажіть, що це означає змістовно (дисперсії/середні рівні чи ні).

Laboratory/Laboratory4/2method.md · 9.1 KB · updated 2026-08-04 23:12