Лекція 4. Перевірка статистичних гіпотез #

Огляд #

У Лекції 3 ми навчилися оцінювати невідомі параметри генеральної сукупності за вибіркою — будувати точкові оцінки й довірчі інтервали. Але часто питання ставлять інакше: не «чому дорівнює параметр?», а «чи узгоджуються дані з певним припущенням про нього?». Чи справді нова версія сайта підвищила середній час на сторінці? Чи однакова точність (розкид) двох виробничих ліній? Чи відрізняється частка відмов від заявлених 5 %? Такі питання — про рішення, яке треба ухвалити за даними, і відповідає на них перевірка статистичних гіпотез (англ. statistical hypothesis testing).

Ідея методу проста й глибока водночас. Ми формулюємо гіпотезу, тимчасово вважаємо її істинною й запитуємо: наскільки ймовірно було б отримати таку саму або ще екстремальнішу вибірку, якби гіпотеза справді була правильна? Якщо ця ймовірність мала — дані «незручні» для гіпотези, і ми її відхиляємо; якщо ні — підстав відхиляти немає. У цьому розділі ми вводимо основну й альтернативну гіпотези, два типи помилок, рівень значущості та критичну область, формулюємо загальний алгоритм із шести кроків, а потім застосовуємо його до найважливіших параметричних критеріїв — про середнє, дисперсію, рівність двох середніх і двох дисперсій та про частку. Ці критерії — робочий інструмент, який далі знадобиться в Лекції 5 (регресійний і кореляційний аналіз) та скрізь, де модель треба перевірити на даних.

Практичний бік. Обчислення статистик критеріїв і критичних значень «руками» ви виконаєте в аудиторній частині, а перевірку гіпотез про рівність дисперсій та середніх двох вибірок реалізуєте програмою в Лабораторній роботі 4.

4.1 Статистична гіпотеза #

Означення (статистична гіпотеза). Статистичною гіпотезою (англ. statistical hypothesis) називають будь-яке припущення щодо генеральної сукупності, яке можна перевірити за вибірковими даними, — про значення параметра (середнього, дисперсії, частки) або про сам вид розподілу.

Гіпотези бувають параметричні (про числове значення параметра, напр., «середній чек дорівнює 250 грн») і непараметричні (про вид розподілу, напр., «дані розподілені нормально» — критерії згоди розглянуто далі в курсі). У цій лекції йдеться про параметричні гіпотези.

Ключова обережність: гіпотезу перевіряють, не знаючи генеральної сукупності, — є лише вибірка. Тому висновок ніколи не буває цілком достовірним; він завжди супроводжується ризиком помилки, який ми свідомо контролюємо (§4.3–4.4).

4.2 Основна та альтернативна гіпотези #

Перевірку завжди будують навколо пари взаємовиключних гіпотез.

Означення (нульова та альтернативна гіпотези). Нульова (основна) гіпотеза $H_0$ — це припущення, яке беруть за замовчуванням («ефекту немає», «відмінності немає», «параметр дорівнює заданому значенню»). Альтернативна гіпотеза $H_1$ (або $H_a$) — суперечне до $H_0$ твердження, яке приймають, якщо $H_0$ відхилено.

Наприклад, для параметра $\theta$ (скажімо, середнього $\mu$) з гіпотетичним значенням $\theta_0$ типова пара має вигляд

$$H_0:\ \theta = \theta_0 \qquad \text{проти} \qquad H_1:\ \theta \ne \theta_0.$$

Форма $H_1$ визначає напрям перевірки:

• двобічна (англ. two-sided): $H_1:\ \theta \ne \theta_0$ — відхилення в будь-який бік;
• правобічна (right-sided): $H_1:\ \theta > \theta_0$;
• лівобічна (left-sided): $H_1:\ \theta < \theta_0$.

Асиметрія ролей. $H_0$ і $H_1$ не рівноправні. Перевірка спроможна лише відхилити $H_0$ (коли дані їй суперечать) або не відхилити її (коли не суперечать). «Не відхилити» — це не «довести істинність $H_0$»: можливо, вибірки просто забракло, щоб виявити наявну відмінність. Тому $H_0$ формулюють як твердження, яке хочуть спростувати (аналог «презумпції невинуватості»: $H_0$ — «невинний», доки дані не доведуть протилежне «поза розумним сумнівом»).

Приклад 4.1 (формулювання). Виробник стверджує, що середній ресурс лампи — $1000$ год. Аналітик підозрює, що насправді ресурс інший. Тоді $H_0:\ \mu = 1000$, $H_1:\ \mu \ne 1000$ (двобічна). Якби перевіряли лише підозру «ресурс менший за заявлений», альтернатива була б лівобічною: $H_1:\ \mu < 1000$.

4.3 Помилки I та II роду #

Оскільки рішення ухвалюють за випадковою вибіркою, можливі два різновиди хибних висновків. Зведемо всі чотири випадки в таблицю.

Означення (помилки I та II роду). Помилка I роду (англ. type I error) — відхилити правильну $H_0$; її ймовірність позначають $\alpha = P(\text{відхилити } H_0 \mid H_0 \text{ істинна})$. Помилка II роду (type II error) — не відхилити хибну $H_0$; її ймовірність — $\beta = P(\text{не відхилити } H_0 \mid H_0 \text{ хибна})$. Величину $1-\beta$ називають потужністю критерію (power) — це ймовірність правильно виявити наявний ефект.

Помилки конфліктують: за фіксованого обсягу вибірки зменшення $\alpha$ (обережніше відхиляти $H_0$) збільшує $\beta$ (частіше пропускати справжній ефект). Одночасно зменшити обидві можна лише збільшивши обсяг вибірки $n$. На практиці спершу фіксують допустиме $\alpha$ (бо помилка I роду зазвичай «дорожча»), а тоді дбають про потужність, обираючи достатнє $n$.

Типова помилка (симетрія помилок). Студенти часто вважають $\alpha$ і $\beta$ взаємодоповняльними ($\alpha + \beta = 1$) — це неправильно. Це ймовірності за різних умов ($H_0$ істинна проти $H_0$ хибна) і незалежно керовані. Пов’язані лише $\beta$ і потужність: $1-\beta$.

4.4 Рівень значущості та статистика критерію #

Означення (рівень значущості). Рівнем значущості (англ. significance level) $\alpha$ називають наперед задану максимально допустиму ймовірність помилки I роду. Типові значення — $\alpha = 0.05$, $0.01$, $0.1$.

Рівень значущості обирають до перегляду даних. $\alpha = 0.05$ означає: ми згодні помилково відхиляти правильну $H_0$ не частіше, ніж у 5 % випадків.

Щоб ухвалити рішення, вибірку згортають в одне число — статистику критерію.

Означення (статистика критерію). Статистика критерію (англ. test statistic) — це функція від вибірки, розподіл якої за істинної $H_0$ відомий. Спостережене значення статистики порівнюють із тим, чого слід було б очікувати, якби $H_0$ була правильна.

Наприклад, для середнього при відомій $\sigma$ статистикою буде стандартизоване відхилення вибіркового середнього від гіпотетичного значення (§4.7), і за істинної $H_0$ воно має стандартний нормальний розподіл $N(0,1)$. Знаючи розподіл статистики, ми можемо вказати, які її значення «неправдоподібні» за $H_0$.

4.5 Критична область #

Означення (критична область). Критична область (область відхилення, англ. critical / rejection region) — це множина таких значень статистики критерію, за яких $H_0$ відхиляють. Її доповнення називають областю прийняття. Межі між ними — критичні точки (квантилі розподілу статистики).

Критичну область будують так, щоб за істинної $H_0$ ймовірність влучити в неї дорівнювала саме $\alpha$. Форма області повторює форму альтернативи (§4.2):

• правобічна $H_1:\ \theta > \theta_0$: область $\{K > k_{\text{кр}}\}$, де $k_{\text{кр}}$ — квантиль рівня $1-\alpha$;
• лівобічна $H_1:\ \theta < \theta_0$: область $\{K < -k_{\text{кр}}\}$ (квантиль рівня $\alpha$);
• двобічна $H_1:\ \theta \ne \theta_0$: область $\{|K| > k_{\text{кр}}\}$, де $k_{\text{кр}}$ — квантиль рівня $1-\alpha/2$ (усе $\alpha$ ділять навпіл між двома хвостами).

Саме тому для двобічної перевірки на рівні $0.05$ беруть квантиль $0.975$ (напр., $z_{0.975} = 1.96$), а не $0.95$: по $2.5\%$ ймовірності лишають у кожному хвості.

Типова помилка (хвіст критерію). Для двобічної перевірки помилково беруть квантиль рівня $1-\alpha$ замість $1-\alpha/2$. Завжди зіставляйте кількість хвостів критичної області з формою $H_1$: одна нерівність ($>$ або $<$) — один хвіст із усім $\alpha$; знак $\ne$ — два хвости по $\alpha/2$.

4.6 Алгоритм перевірки гіпотез #

Усі критерії цієї лекції вкладаються в один загальний алгоритм із шести кроків.

ПеревіркаГіпотези(вибірка, твердження про параметр, alpha):
  1. Сформулювати H0 і H1  (обрати одно- чи двобічну альтернативу)
  2. Задати рівень значущості alpha
  3. Обрати статистику критерію K та її розподіл за істинної H0
  4. Визначити критичну область (критичні точки за alpha і формою H1)
  5. Обчислити спостережене значення статистики K_сп за вибіркою
  6. Висновок:
       якщо K_сп потрапляє в критичну область  ->  ВІДХИЛИТИ H0 (на користь H1)
       інакше                                  ->  H0 НЕ ВІДХИЛЯЄМО

Альтернатива: p-значення #

Замість порівняння статистики з критичною точкою рішення часто ухвалюють за p-значенням.

Означення (p-значення). p-значення (англ. p-value) — це ймовірність за істинної $H_0$ отримати значення статистики таке саме або ще екстремальніше, ніж спостережене. Правило рішення: якщо $p \le \alpha$ — відхилити $H_0$, інакше не відхиляти.

Обидва підходи еквівалентні (дають те саме рішення), бо $p \le \alpha$ рівносильно влученню статистики в критичну область. Перевага p-значення в тому, що воно показує наскільки сильно дані суперечать $H_0$ (напр., $p = 0.001$ переконливіше за $p = 0.049$), і не потребує окремої критичної точки для кожного $\alpha$.

У наступних параграфах пройдемо цим алгоритмом для семи класичних критеріїв. Для всіх критичних значень і p-значень нижче використано функції розподілів з scipy.stats (norm.ppf, t.ppf, chi2.ppf, f.ppf) — той самий інструмент, що й у статистичних таблицях.

4.7 Гіпотеза про математичне сподівання при відомій дисперсії (Z-критерій) #

Нехай вибірку взято з нормальної сукупності з відомим середньоквадратичним відхиленням $\sigma$. Перевіряємо $H_0:\ \mu = \mu_0$. За істинної $H_0$ вибіркове середнє $\bar{x}$ має розподіл $N(\mu_0,\ \sigma^2/n)$, тож стандартизована статистика

$$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

має стандартний нормальний розподіл $N(0,1)$. Критичні точки — квантилі $N(0,1)$: для двобічної перевірки $z_{1-\alpha/2}$ ($z_{0.975} = 1.96$ при $\alpha = 0.05$).

Приклад 4.2. Технологічна норма ваги пакета — $\mu_0 = 100$ г при відомому $\sigma = 5$ г. Вибірка $n = 25$ пакетів дала $\bar{x} = 102$ г. Чи змістилося середнє ($\alpha = 0.05$, двобічна)?

Розв’язання. $H_0:\ \mu = 100$, $H_1:\ \mu \ne 100$. Статистика:

$$Z = \frac{102 - 100}{5/\sqrt{25}} = \frac{2}{1} = 2.0.$$

Критична точка $z_{0.975} = 1.96$. Оскільки $|Z| = 2.0 > 1.96$, $Z$ потрапляє в критичну область — $H_0$ відхиляємо: середня вага значуще відрізняється від норми ($p \approx 0.0455 < 0.05$).

4.8 Гіпотеза про математичне сподівання при невідомій дисперсії (t-критерій) #

На практиці $\sigma$ майже завжди невідома. Тоді її замінюють вибірковим (незміщеним) СКВ $s$, а нормальний розподіл статистики поступається розподілу Стьюдента:

$$T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad \text{df} = n - 1.$$

За істинної $H_0$ ця статистика має розподіл Стьюдента з $n-1$ ступенями свободи (англ. degrees of freedom, df). Критичні точки — квантилі $t$-розподілу $t_{1-\alpha/2,\ n-1}$. Розподіл Стьюдента має «важчі хвости», ніж $N(0,1)$, тож його критичні значення більші — це плата за незнання $\sigma$; при великих $n$ ($n \gtrsim 30$) різниця зникає, і $t$-критерій наближається до $Z$-критерію.

Приклад 4.3. Гіпотетичне середнє $\mu_0 = 50$. Вибірка $n = 16$ дала $\bar{x} = 52.5$, $s = 4$. Перевіримо $H_0:\ \mu = 50$ проти $H_1:\ \mu \ne 50$ при $\alpha = 0.05$.

$$T = \frac{52.5 - 50}{4/\sqrt{16}} = \frac{2.5}{1} = 2.5, \qquad \text{df} = 15.$$

Критична точка $t_{0.975,\ 15} = 2.131$. Оскільки $|T| = 2.5 > 2.131$ — $H_0$ відхиляємо ($p \approx 0.0245$). Якби ми помилково скористалися $z_{0.975} = 1.96$, висновок збігся б, але для малих вибірок таке спрощення небезпечне: при $T$ між $1.96$ і $2.131$ воно дало б хибне відхилення.

4.9 Гіпотеза про числове значення дисперсії ($\chi^2$-критерій) #

Іноді цікавить не середнє, а розкид — напр., стабільність (точність) процесу. Для нормальної сукупності перевіряють $H_0:\ \sigma^2 = \sigma_0^2$ статистикою

$$\chi^2 = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2}, \qquad \text{df} = n - 1,$$

яка за істинної $H_0$ має розподіл хі-квадрат із $n-1$ ступенями свободи. Розподіл $\chi^2$ несиметричний (додатний), тож критичні точки для двох хвостів різні:

• правобічна $H_1:\ \sigma^2 > \sigma_0^2$: область $\{\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha,\ n-1}\}$;
• лівобічна $H_1:\ \sigma^2 < \sigma_0^2$: область $\{\chi^2 < \chi^2_{\alpha,\ n-1}\}$;
• двобічна: $\{\chi^2 < \chi^2_{\alpha/2}\}\cup\{\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha/2}\}$.

Приклад 4.4. Норма дисперсії розміру деталі — $\sigma_0^2 = 4$. Вибірка $n = 20$ дала $s^2 = 6.5$. Чи зросла мінливість ($\alpha = 0.05$, правобічна)?

Розв’язання. $H_0:\ \sigma^2 = 4$, $H_1:\ \sigma^2 > 4$.

$$\chi^2 = \frac{(20-1)\cdot 6.5}{4} = \frac{123.5}{4} = 30.875, \qquad \text{df} = 19.$$

Критична точка $\chi^2_{0.95,\ 19} = 30.14$. Оскільки $30.875 > 30.14$ — $H_0$ відхиляємо: мінливість значуще зросла, хоча й на межі ($p \approx 0.042$). Такий граничний результат — привід зібрати більше даних, перш ніж утручатися в процес.

4.10 Гіпотеза про рівність двох дисперсій (F-критерій Фішера) #

Порівняймо розкид двох незалежних вибірок із нормальних сукупностей: $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$. Статистика — відношення вибіркових дисперсій:

$$F = \frac{s_{\max}^2}{s_{\min}^2} \quad (\text{більша дисперсія над меншою}), \qquad \text{df} = (n_{\max}-1,\ n_{\min}-1),$$

яка за істинної $H_0$ має розподіл Фішера $F(k_1, k_2)$. Ставлячи більшу дисперсію в чисельник, ми гарантуємо $F \ge 1$ і порівнюємо лише з верхньою критичною точкою $F_{1-\alpha/2}(k_1, k_2)$ (двобічна перевірка $\ne$).

Приклад 4.5. Дві лінії дали $s_1^2 = 10.8$ ($n_1 = 12$) та $s_2^2 = 4.2$ ($n_2 = 10$). Чи різна їхня точність ($\alpha = 0.05$, двобічна)?

Розв’язання. $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$, $H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$. Більша дисперсія — $s_1^2$:

$$F = \frac{10.8}{4.2} = 2.571, \qquad \text{df} = (11,\ 9).$$

Критична точка $F_{0.975}(11, 9) = 3.912$. Оскільки $2.571 < 3.912$ — $H_0$ не відхиляємо ($p \approx 0.17$): відмінність дисперсій статистично незначуща. Це типовий перший крок перед порівнянням середніх: якщо дисперсії можна вважати рівними, для середніх беруть об’єднану оцінку (§4.11); якщо ні — критерій Уелча (§4.12).

Типова помилка (менша дисперсія в чисельнику). Якщо поставити меншу дисперсію згори, вийде $F < 1$, і порівняння з верхньою критичною точкою завжди дасть «не відхиляємо» — критерій втратить чутливість. Домовленість «більша над меншою» усуває цю пастку.

4.11 Гіпотеза про рівність двох середніх при рівних дисперсіях #

Найчастіше питання — чи однакові середні двох груп (контроль проти нової версії, до проти після). Якщо дисперсії сукупностей можна вважати рівними (перевірено $F$-критерієм, §4.10), їх поєднують в одну об’єднану (англ. pooled) оцінку:

$$s_p^2 = \frac{(n_1-1)\,s_1^2 + (n_2-1)\,s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, \qquad T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}, \qquad \text{df} = n_1 + n_2 - 2.$$

Об’єднана дисперсія $s_p^2$ — це середньозважене (за ступенями свободи) двох вибіркових дисперсій; вона точніше оцінює спільну дисперсію, ніж кожна окремо. За істинної $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$ статистика $T$ має розподіл Стьюдента з $n_1+n_2-2$ ступенями свободи.

Приклад 4.6. Дві групи: $n_1 = 12$, $\bar{x}_1 = 45.2$, $s_1^2 = 8.5$; $n_2 = 15$, $\bar{x}_2 = 48.1$, $s_2^2 = 7.2$ (дисперсії вважаємо рівними). Чи різні середні ($\alpha = 0.05$, двобічна)?

Розв’язання. Об’єднана дисперсія:

$$s_p^2 = \frac{11\cdot 8.5 + 14\cdot 7.2}{12 + 15 - 2} = \frac{93.5 + 100.8}{25} = 7.772, \qquad s_p = 2.788.$$

Статистика:

$$T = \frac{45.2 - 48.1}{2.788\sqrt{\tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{15}}} = \frac{-2.9}{2.788\cdot 0.3873} = \frac{-2.9}{1.080} = -2.686, \qquad \text{df} = 25.$$

Критична точка $t_{0.975,\ 25} = 2.060$. Оскільки $|{-2.686}| = 2.686 > 2.060$ — $H_0$ відхиляємо ($p \approx 0.013$): середні значуще різняться.

4.12 Гіпотеза про рівність двох середніх при різних дисперсіях (критерій Уелча) #

Якщо $F$-критерій показав, що дисперсії різні (або немає підстав вважати їх рівними), об’єднувати їх не можна. Тоді застосовують критерій Уелча (англ. Welch’s t-test): статистику будують на окремих дисперсіях, а ступені свободи обчислюють за наближенням Уелча–Саттертвейта:

$$T = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}, \qquad \text{df} = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.$$

Ступені свободи Уелча зазвичай дробові; на практиці їх округлюють униз (це консервативніше — критична точка трохи більша). Критерій Уелча надійніший за об’єднаний $t$-критерій, коли дисперсії й обсяги груп неоднакові, і майже не поступається йому, коли дисперсії справді рівні, — тому багато статистичних пакетів беруть його за замовчуванням.

Приклад 4.7. Група 1: $n_1 = 10$, $\bar{x}_1 = 100$, $s_1^2 = 4$; група 2: $n_2 = 8$, $\bar{x}_2 = 103$, $s_2^2 = 25$ (дисперсії явно різні). Перевіримо рівність середніх ($\alpha = 0.05$, двобічна).

Розв’язання.

$$\frac{s_1^2}{n_1} = \frac{4}{10} = 0.4, \qquad \frac{s_2^2}{n_2} = \frac{25}{8} = 3.125,$$

$$T = \frac{100 - 103}{\sqrt{0.4 + 3.125}} = \frac{-3}{\sqrt{3.525}} = \frac{-3}{1.878} = -1.598.$$

Ступені свободи Уелча:

$$\text{df} = \frac{(0.4 + 3.125)^2}{\dfrac{0.4^2}{9} + \dfrac{3.125^2}{7}} = \frac{12.426}{0.0178 + 1.395} = 8.80 \ \Rightarrow\ \text{округлюємо до } 8.$$

Критична точка $t_{0.975,\ 8} = 2.306$. Оскільки $|{-1.598}| = 1.598 < 2.306$ — $H_0$ не відхиляємо ($p \approx 0.15$): попри різницю середніх у 3 одиниці, великий розкид другої групи не дає визнати відмінність значущою.

4.13 Гіпотеза про числове значення ймовірності події (частку) #

Для частки (ймовірності «успіху») перевіряють $H_0:\ p = p_0$ за вибіркою з $n$ незалежних випробувань, у яких трапилося $m$ успіхів. Вибіркова частка $\hat{p} = m/n$; за центральною граничною теоремою при досить великому $n$ вона приблизно нормальна, тож

$$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} \ \sim\ N(0,1).$$

У знаменнику стоїть $p_0$ (а не $\hat{p}$), бо стандартне відхилення обчислюють за істинної $H_0$. Наближення надійне, коли $n p_0 \ge 5$ і $n(1-p_0) \ge 5$.

Приклад 4.8. Монету підкинули $n = 200$ разів, «орел» випав $m = 115$ разів. Чи симетрична монета ($p_0 = 0.5$, $\alpha = 0.05$, двобічна)?

Розв’язання. $\hat{p} = 115/200 = 0.575$.

$$Z = \frac{0.575 - 0.5}{\sqrt{\dfrac{0.5\cdot 0.5}{200}}} = \frac{0.075}{0.03536} = 2.121.$$

Критична точка $z_{0.975} = 1.96$. Оскільки $2.121 > 1.96$ — $H_0$ відхиляємо ($p \approx 0.034$): відхилення від симетрії статистично значуще.

Застосування в аналітиці даних #

• A/B-тестування. Порівняння конверсії (частка) або середнього доходу двох варіантів продукту — це рівно критерії §4.11–4.13. Рівень значущості й потужність визначають потрібний обсяг трафіку.
• Контроль якості. $\chi^2$-критерій про дисперсію (§4.9) і $F$-критерій (§4.10) стежать за стабільністю процесу — зростання розкиду сигналізує про розладнання.
• Валідація ознак і моделей. Перш ніж включати ознаку в модель, перевіряють, чи значуще її середнє різниться між класами ($t$-критерій) — це найпростіший відбір ознак; значущість коефіцієнтів регресії (Лекція 5) перевіряють тим самим $t$-критерієм.
• Обережність із p-значеннями. Статистична значущість — не те саме, що практична: за великих $n$ мізерний ефект стає «значущим». Завжди дивіться на розмір ефекту (різницю середніх, довірчий інтервал), а не лише на $p \le \alpha$. Багаторазові перевірки на тих самих даних роздувають сумарну помилку I роду (проблема множинних порівнянь).

Підсумок #

• Статистична гіпотеза — перевірне припущення про генеральну сукупність. Перевірку будують на парі $H_0$ (основна, «ефекту немає») і $H_1$ (альтернативна), причому критерій здатний лише відхилити або не відхилити $H_0$.
• Помилка I роду ($\alpha$) — відхилити правильну $H_0$; помилка II роду ($\beta$) — не відхилити хибну; потужність $= 1-\beta$. За фіксованого $n$ вони конфліктують.
• Рівень значущості $\alpha$ задають наперед; критична область повторює форму $H_1$ (ліво-, право- чи двобічна), причому для двобічної $\alpha$ ділять навпіл ($1-\alpha/2$).
• Алгоритм із 6 кроків: гіпотези → $\alpha$ → статистика → критична область → спостережене значення → висновок. Еквівалентне правило — за p-значенням ($p \le \alpha \Rightarrow$ відхилити).
• Критерії (нормальна сукупність):
  • середнє, $\sigma$ відома — $Z = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$;
  • середнє, $\sigma$ невідома — $T = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$, df $= n-1$;
  • дисперсія — $\chi^2 = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$, df $= n-1$;
  • дві дисперсії — $F = \dfrac{s_{\max}^2}{s_{\min}^2}$, df $= (n_{\max}-1, n_{\min}-1)$;
  • два середніх, дисперсії рівні — об’єднана $s_p^2$, df $= n_1+n_2-2$;
  • два середніх, дисперсії різні — Уелч, df за Уелчем–Саттертвейтом;
  • частка — $Z = \dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$.

Вправи #

Для розігріву #

1. Поясніть різницю між $H_0$ і $H_1$. Чому «не відхилити $H_0$» не означає «довести $H_0$»? Наведіть аналогію із судовим процесом.
2. Що таке помилки I та II роду? Чому не можна одночасно зменшити $\alpha$ і $\beta$, не збільшуючи обсяг вибірки? Чи правда, що $\alpha + \beta = 1$?
3. Для $\alpha = 0.05$ випишіть критичні точки $z$ для лівобічної, правобічної та двобічної перевірок за $N(0,1)$. Поясніть, чому для двобічної беруть квантиль $0.975$, а не $0.95$.

Стандартні #

4. Відома $\sigma = 20$. Вибірка $n = 16$ дала $\bar{x} = 509$ при нормі $\mu_0 = 500$. Перевірте $H_0:\ \mu = 500$ проти $H_1:\ \mu \ne 500$ ($Z$-критерій, $\alpha = 0.05$). Який висновок?
5. Мала вибірка $8,\ 11,\ 9,\ 12,\ 10,\ 13,\ 9,\ 12$ ($n = 8$). Перевірте гіпотезу $H_0:\ \mu = 9$ проти $H_1:\ \mu \ne 9$ ($t$-критерій, $\alpha = 0.05$): обчисліть $\bar{x}$, $s$, $T$, знайдіть $t_{0.975,\,7}$ і зробіть висновок.
6. Дві вибірки: $s_1^2 = 15.2$ ($n_1 = 9$) і $s_2^2 = 5.1$ ($n_2 = 13$). Перевірте рівність дисперсій ($F$-критерій, $\alpha = 0.05$, двобічна). Яку дисперсію ставите в чисельник і чому?
7. Частка. Із $n = 150$ відвідувачів купівлю зробили $m = 24$. Перевірте гіпотезу $H_0:\ p = 0.2$ проти $H_1:\ p \ne 0.2$ ($z$-критерій, $\alpha = 0.05$).

Підвищеної складності #

8. Дві групи: $n_1 = 10$, $\bar{x}_1 = 5.1$, $s_1^2 = 1.2$; $n_2 = 10$, $\bar{x}_2 = 6.0$, $s_2^2 = 1.6$. (а) $F$-критерієм перевірте рівність дисперсій; (б) залежно від результату застосуйте об’єднаний $t$-критерій або критерій Уелча до рівності середніх ($\alpha = 0.05$).
9. Поясніть зв’язок двобічної перевірки $H_0:\ \mu = \mu_0$ на рівні $\alpha$ з довірчим інтервалом для $\mu$ надійності $1-\alpha$ (Лекція 3): чому «$\mu_0$ поза інтервалом» рівносильне «відхилити $H_0$»?
10. Продемонструйте на числах, чому за дуже великого $n$ навіть крихітна різниця $\bar{x} - \mu_0$ дає значущий результат. Який висновок про співвідношення статистичної та практичної значущості це підказує?
11. Виведіть, чому статистика $\chi^2 = (n-1)s^2/\sigma_0^2$ має саме $n-1$ (а не $n$) ступенів свободи. (Підказка: одна умова — оцінювання $\bar{x}$ — «забирає» один ступінь свободи.)

Lectures/DA-L04.md · 38.8 KB · updated 2026-08-05 09:39