3. Аудиторні задачі з розв’язаннями #

Ці задачі розбирають в аудиторії «руками». Вони показують ті самі обчислення й рішення, які потім автоматизує домашня програма (4task.md). Теорія й формули — у методичних вказівках. Скрізь $\alpha = 0.05$; дисперсії незміщені ($/(n-1)$); критичні значення наведено з scipy.stats.

Задача 1. Гіпотеза про математичне сподівання (t-критерій) #

Дано. Нормативне значення показника — $\mu_0 = 19$. Вимірювання на вибірці з $n = 10$ об’єктів:

$$18,\ 19,\ 20,\ 20,\ 21,\ 21,\ 22,\ 22,\ 23,\ 24.$$

Перевірити ($\alpha = 0.05$), чи відрізняється середнє від норми.

Розв’язання.

Крок 1–2. $H_0:\ \mu = 19$ проти $H_1:\ \mu \ne 19$ (двобічна); $\alpha = 0.05$.

Крок 3. Дисперсія генеральної сукупності невідома → t-критерій, $T = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$, $\text{df} = n - 1 = 9$.

Крок 4. Критична точка (двобічна): $t_{0.975,\,9} = 2.2622$ (scipy.stats.t.ppf(0.975, 9)). Критична область: $|T| > 2.2622$.

Крок 5. Обчислимо характеристики. Сума $= 210$, тож

$$\bar{x} = \frac{210}{10} = 21.$$

Відхилення від $21$: $-3, -2, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 3$; їх квадрати: $9, 4, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 4, 9$; сума квадратів $= 30$. Тоді

$$s^2 = \frac{30}{n-1} = \frac{30}{9} = 3.3333, \qquad s = 1.8257.$$

$$T = \frac{21 - 19}{1.8257/\sqrt{10}} = \frac{2}{0.57735} = 3.4641.$$

Крок 6. Висновок. Оскільки $|T| = 3.4641 > 2.2622$, статистика в критичній області — $H_0$ відхиляємо: середнє значуще відрізняється від норми $19$ ($p \approx 0.0071$).

Задача 2. Рівність двох дисперсій (F-критерій Фішера) #

Дано. Дві незалежні вибірки (напр., точність двох приладів):

$$A:\ 48,\ 52,\ 49,\ 51,\ 50,\ 47,\ 53,\ 50,\ 49,\ 51 \quad (n_1 = 10);$$

$$B:\ 51,\ 55,\ 49,\ 57,\ 53,\ 50,\ 56,\ 53 \quad (n_2 = 8).$$

Перевірити ($\alpha = 0.05$), чи рівні їхні дисперсії.

Розв’язання.

Крок 1–2. $H_0:\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ проти $H_1:\ \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ (двобічна); $\alpha = 0.05$.

Крок 3. Обчислимо вибіркові дисперсії.

$$\bar{x}_A = \frac{500}{10} = 50, \quad \sum (x - \bar{x}_A)^2 = 30, \quad s_A^2 = \frac{30}{9} = 3.3333;$$

$$\bar{x}_B = \frac{424}{8} = 53, \quad \sum (x - \bar{x}_B)^2 = 58, \quad s_B^2 = \frac{58}{7} = 8.2857.$$

Більша дисперсія — $s_B^2$, тож ставимо її в чисельник:

$$F = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{8.2857}{3.3333} = 2.4857, \qquad \text{df} = (n_2 - 1,\ n_1 - 1) = (7,\ 9).$$

Крок 4. Критична точка $F_{0.975}(7, 9) = 4.1971$ (scipy.stats.f.ppf(0.975, 7, 9)). Критична область: $F > 4.1971$.

Крок 5–6. Висновок. Оскільки $F = 2.4857 < 4.1971$, статистика поза критичною областю — $H_0$ не відхиляємо ($p \approx 0.20$): підстав вважати дисперсії різними немає. Це дозволяє в наступній задачі скористатися об’єднаною дисперсією.

Задача 3. Рівність двох середніх при рівних дисперсіях (t-критерій) #

Дано. Ті самі вибірки $A$ і $B$, що в Задачі 2 (дисперсії визнано рівними).

Перевірити ($\alpha = 0.05$), чи рівні їхні математичні сподівання.

Розв’язання.

Крок 1–2. $H_0:\ \mu_1 = \mu_2$ проти $H_1:\ \mu_1 \ne \mu_2$ (двобічна); $\alpha = 0.05$.

Крок 3. Дисперсії рівні → t-критерій з об’єднаною дисперсією, $\text{df} = n_1 + n_2 - 2 = 16$. З Задачі 2: $\bar{x}_A = 50$, $\bar{x}_B = 53$, $s_A^2 = 3.3333$, $s_B^2 = 8.2857$.

$$s_p^2 = \frac{(10-1)\cdot 3.3333 + (8-1)\cdot 8.2857}{10 + 8 - 2} = \frac{30 + 58}{16} = 5.5, \qquad s_p = 2.3452.$$

$$T = \frac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{s_p\sqrt{\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}}} = \frac{50 - 53}{2.3452\sqrt{\tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{8}}} = \frac{-3}{2.3452\cdot 0.47434} = \frac{-3}{1.1124} = -2.6968.$$

Крок 4. Критична точка $t_{0.975,\,16} = 2.1199$ (scipy.stats.t.ppf(0.975, 16)). Критична область: $|T| > 2.1199$.

Крок 5–6. Висновок. Оскільки $|T| = 2.6968 > 2.1199$ — $H_0$ відхиляємо ($p \approx 0.016$): середні вибірок $A$ і $B$ значуще різняться.

Зв’язок із домашнім завданням. Задачі 2 і 3 разом утворюють повний ланцюжок, який реалізує домашня програма (4task.md): спочатку F-критерій рівності дисперсій, а за його результатом — відповідний критерій рівності середніх. Тут дисперсії виявилися рівними, тож застосовано об’єднану дисперсію; якби F-критерій відхилив рівність дисперсій, замість неї взяли б критерій Уелча (§2.5 методичних вказівок). Ці три задачі — зручний тест: подайте ці вибірки на вхід програмі й переконайтесь, що вона повертає $F = 2.486$ (дисперсії рівні) і $T = -2.697$ (середні різні).

Laboratory/Laboratory4/3classroom.md · 7.1 KB · updated 2026-08-05 09:40