2. Методичні вказівки #

Цей розділ самодостатній: у ньому зібрано теорію класичної ймовірності, теореми Байєса та комбінаторики, потрібну для аудиторних задач (3classroom.md) і домашнього завдання (4task.md). Ширше з поясненнями — у Лекції 1.

2.1 Класична ймовірність #

Якщо всі $n$ елементарних наслідків рівноможливі, то ймовірність події $A$, якій сприяють $m$ наслідків,

$$P(A) = \frac{m}{n}.$$

Протилежна подія: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — зручна для задач «хоча б один» (рахуємо «жодного» й віднімаємо від одиниці). Теорема додавання:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B),$$

а для несумісних подій — $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

2.2 Умовна ймовірність, множення, Байєс #

Умовна ймовірність: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Звідси теорема множення $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$ — основний інструмент для послідовних подій (напр., вибір без повернення). Події незалежні, якщо $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Для повної групи несумісних гіпотез $H_1, \dots, H_k$ — формула повної ймовірності та теорема Байєса:

$$P(A) = \sum_{i} P(H_i)\, P(A \mid H_i), \qquad P(H_i \mid A) = \frac{P(H_i)\, P(A \mid H_i)}{P(A)}.$$

2.3 Комбінаторика #

Правило добутку: послідовні незалежні вибори перемножують ($n_1 \cdot n_2$). Правило суми: взаємовиключні варіанти додають ($n_1 + n_2$).

Корисно: $C_n^k = C_n^{n-k}$; $C_n^0 = C_n^n = 1$; кількість розміщень із повтореннями $= n^k$ (кожну з $k$ позицій заповнюють одним із $n$ значень незалежно).

2.4 Демонстраційний приклад (на інших даних, ніж у задачах) #

(а) Ймовірність без повернення. З колоди $52$ карт витягають дві. Імовірність, що обидві королі:

$$P = \frac{C_4^2}{C_{52}^2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}, \quad\text{або через множення}\quad \frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51} = \frac{1}{221}.$$

(б) Комбінаторні схеми на одних даних. Нехай є $8$ бігунів.

• Розподіл місць на п’єдесталі (1-ше, 2-ге, 3-тє) — порядок важливий: $A_8^3 = \dfrac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.
• Обрати трійку для естафети (без розподілу етапів) — порядок неважливий: $C_8^3 = \dfrac{8!}{3!\,5!} = 56$.

Різниця $336$ проти $56$ — саме множник $3! = 6$ (кількість упорядкувань трійки): $A_8^3 = C_8^3 \cdot 3!$.

(в) Вибір із повтореннями. Тризначний PIN-код із цифр $0$–$9$: $10^3 = 1000$ варіантів (цифри можуть повторюватися, порядок важливий).

2.5 Робочий контрольний список #

• Для класичної ймовірності — чітко опишіть простір наслідків і переконайтесь у рівноможливості.
• «Хоча б один» — рахуйте через протилежну подію.
• Послідовні події (без повернення) — теорема множення з умовними ймовірностями.
• Комбінаторика: спершу спитайте себе «чи важливий порядок?» — це відрізняє розміщення від сполучень; далі — «чи можливі повторення?».

Laboratory/Laboratory1/2method.md · 5.1 KB · updated 2026-08-05 09:26