3. Аудиторні задачі з розв’язаннями #

Ці задачі розбирають в аудиторії «руками». Вони показують ті самі обчислення, які потім автоматизує домашня програма (4task.md). Теорія й формули — у методичних вказівках. Дані задач відрізняються від демонстраційного прикладу у 2method.md.

Задача 1. Просте ковзне середнє #

Дано часовий ряд щоденної кількості відвідувачів сайту ($n = 8$):

$$15,\ 18,\ 21,\ 19,\ 23,\ 25,\ 24,\ 28.$$

Знайти просте ковзне середнє з вікном $w = 3$.

Розв’язання. Перші два значення не визначені (вікно ще не заповнене); від $t = 3$ усереднюємо три останні спостереження:

Відповідь: $\mathrm{MA}^{(3)} = 18.000,\ 19.333,\ 21.000,\ 22.333,\ 24.000,\ 25.667$ (для $t = 3, \dots, 8$). Згладжений ряд монотонно зростає — виявлено висхідний тренд, тимчасом як сирий ряд коливається.

Задача 2. Просте експоненційне згладжування #

Дано ряд $50,\ 52,\ 48,\ 53,\ 55$ і сталу згладжування $\alpha = 0.5$.

Знайти згладжений ряд $\hat{x}_t$ (старт $\hat{x}_1 = x_1$) і прогноз на наступний період.

Розв’язання. Старт $\hat{x}_1 = x_1 = 50$; далі за формулою $\hat{x}_t = 0.5\,x_t + 0.5\,\hat{x}_{t-1}$ послідовно:

$$\hat{x}_2 = 0.5 \cdot 52 + 0.5 \cdot 50 = 26 + 25 = 51.000,$$

$$\hat{x}_3 = 0.5 \cdot 48 + 0.5 \cdot 51 = 24 + 25.5 = 49.500,$$

$$\hat{x}_4 = 0.5 \cdot 53 + 0.5 \cdot 49.5 = 26.5 + 24.75 = 51.250,$$

$$\hat{x}_5 = 0.5 \cdot 55 + 0.5 \cdot 51.25 = 27.5 + 25.625 = 53.125.$$

Прогноз на наступний ($6$-й) період — остання згладжена оцінка: $\hat{x}_6 = \hat{x}_5 = 53.125$.

Відповідь: $\hat{x} = 50.000,\ 51.000,\ 49.500,\ 51.250,\ 53.125$; прогноз $\hat{x}_6 = 53.125$. Згладжений ряд плавно рухається за даними, не повторюючи їхніх різких стрибків (напр., падіння до $48$ на кроці $3$ пом’якшене до $49.5$).

Задача 3. Оцінка похибки прогнозу (MAE, RMSE, MAPE) #

Дано фактичні значення ряду та прогноз на $m = 5$ періодах:

Знайти MAE, RMSE та MAPE.

Розв’язання. Складемо розрахункову таблицю: похибки $x_t - \hat{x}_t$, їхні модулі, квадрати та відносні модулі $|x_t - \hat{x}_t| / x_t$:

| $x_t$ | $\hat{x}_t$ | $x_t - \hat{x}_t$ | $|x_t - \hat{x}_t|$ | $(x_t - \hat{x}_t)^2$ | $|{\cdot}| / x_t$ | |:–:|:–:|:–:|:–:|:–:|:–:| | 100 | 102 | $-2$ | 2 | 4 | $2/100 = 0.02000$ | | 110 | 108 | $+2$ | 2 | 4 | $2/110 = 0.01818$ | | 105 | 110 | $-5$ | 5 | 25 | $5/105 = 0.04762$ | | 120 | 115 | $+5$ | 5 | 25 | $5/120 = 0.04167$ | | 115 | 118 | $-3$ | 3 | 9 | $3/115 = 0.02609$ | | | | | 17 | 67 | 0.15355 |

Звідси:

$$\mathrm{MAE} = \frac{1}{5}\sum |x_t - \hat{x}_t| = \frac{17}{5} = 3.400,$$

$$\mathrm{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{5}\sum (x_t - \hat{x}_t)^2} = \sqrt{\frac{67}{5}} = \sqrt{13.4} \approx 3.661,$$

$$\mathrm{MAPE} = \frac{100\%}{5}\sum \left| \frac{x_t - \hat{x}_t}{x_t} \right| = \frac{100\%}{5} \cdot 0.15355 \approx 3.07\%.$$

Відповідь: $\mathrm{MAE} = 3.400$, $\mathrm{RMSE} \approx 3.661$, $\mathrm{MAPE} \approx 3.07\%$. RMSE ($3.661$) більша за MAE ($3.400$): через квадрат вона сильніше «відчула» два більші промахи по $5$. У середньому прогноз хибить на $\approx 3.4$ відвідувача, або на $\approx 3.1\%$.

Зв’язок із домашнім завданням. Саме ці кроки — прочитати ряд, згладити ковзним середнім і експоненційним згладжуванням, спрогнозувати наступні значення та оцінити похибку метриками MAE / RMSE / MAPE — виконуватиме ваша програма для довільного файлу CSV (4task.md). Задачі 1 і 2 — зручні тести: подайте їхні ряди на вхід і переконайтесь, що програма повертає $\mathrm{MA}^{(3)} = 18,\ 19.333,\ 21,\ 22.333,\ 24,\ 25.667$ (Задача 1) та $\hat{x} = 50,\ 51,\ 49.5,\ 51.25,\ 53.125$ за $\alpha = 0.5$ (Задача 2).

Laboratory/Laboratory14/3classroom.md · 6.1 KB · updated 2026-08-05 09:37